4tJ(> TROISIÈME PARTIE.

63o. Considérant toujours les surfaces qui ont un centre, montronscomment on obtient les longueurs des axes, c'est-à-dire les portions desaxes qui sont comprises dans la surface. Supposons que les coordonnéessoient rectangulaires et que l’origine soit placée au centre, nous prendrons

[G] Ai’ -f AV’ -f-AV-f aBit + îB 'xz + aB'V*+G=o

pour l’équation de la surfaco, et

[ 4 ] x=tz, f=S J z,

pour celles d’un axo. 11 est clair que f et t' doivent être déterminés parl’analyse du n° 617. En désignant par A le demi-axe , et par x, jr, z, lescoordonnées du point où il rencontre la surface, on a

A , =* , +r’+«’=(' , +''* + «>»*■

Mais, d’un autre cAté, en éliminant 1 et y de l’équation [G] , au moyendes équations [ jj , il vient

(Aé’ + A'<r’+A"+aB<r<r-f îBV+aB"<r)s’ -t-G = o ;et par conséquent

__ — (<f* + <f'*+i)G _

— A/’4-AV'’-fA“ + aBé'/' + aB'J' + aB"r -

Or, si on ajoute les équations [i] du n° 617, après avoir multiplié la premiére par «Tel la seconde par il vient

donc

63î. Si G est nul, x no l'étant pas, on a A = o c c’est ce qip doit avoirlieu quand l’équation [G] représente un point, un cône, une droite, deuxplans qui se coupent, ou un plan unique.

Si, en calculant x, on trouve x=o, et que G ne soit pas nul, il en ré'suite A=oc : ce cas a lieu pour les cylindres elliptiques ou hyperboli-ques, et aussi pour deux plans parallèles.

Si à la fois on a G = o et x = o, A est indéterminé. Cela doit arriverquand on a deux plans qui se coupent, un plan unique, ou une droite.

63a. Laissons de côté ces cas particuliers, et supposons qu'on ait divisél’équation [G] par le terme constant, après l’avoir passé dans le secondmembre; de sorte qu'on ait, pour la surface,

[K] A.r * A 'y* -|- A "a* -J- aBxy -f- *B'xz -|-xB M y* = 1.

L'équation [3], qui donne x, ne changera pas, puisqu’elle ne contientpas G, et on aura simplement

[ 6 ] =

relation bien remarquable, qui montre qu’en divisant l’unité par les ra-cines de l’équation [3], on a les carrés des demi-axes de la surface.

633. Supposons que la surface soit rapportée à ses axes. Puisqu’ils for-ment un système de diamètres conjugués (639), on peut donner enoore -àl’éipialion la forme