GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 459

cette difficulté ne peut point exister 5 car, dans ces surfaces, tous les plansdiamétraux passent au centre : ainsi, elles ont au moins un plan principal.11 serait difiieile de juger au moyen de l’équation [3] si elles en ont plu-sieurs ; mais on y parvient par les considérations suivantes.

Prenons les x et les y dans le plan principal dont l’existence est dé-montrée, et les z sur le diamètre perpendiculaire. L’équation de lasurface ne contiendra ni les termes du premier degré, puisque l’origineest au centre, ni les rectangles xz et yz, puisqu’elle doit donner pour zdes valeurs égales et de signes contraires. De plus, on peut diriger les xet les y de telle sorte que ces coordonnées soient perpendiculaires entreelles, et fassent disparaître aussi le rectangle xys donc l’équation de lasurface sera de la forme,

[I] +

Elle est semblable à l’équation £E] du n° 601 ; mais les coordonnéesactuelles sont rectangulaires.

Par cette équation, on aperçoit sur-le-champ que les plans de xz etde yz sont aussi des plans principaux. Ainsi, la surface en a au moinstrois; et par conséquent l’équation [3], qui doit les donner tous, a sestrois racines réelles. D’un autre côté, commo cette équation ne peut pasavoir plus de trois racines, on conclut qu'en général les surfaces douéesde centre ont trois plans principaux, et n en ont pas davantage.

629 . La recherche des diamètres principaux a une connexion intimeavec celle des plans principaux. D'abord il est clair que dans l’équationci-dessus les lignes des x, des y, et des z, sont des diamètres principaux :car chacune passe par les centres d’une suite de sections auxquelles elleest perpendiculaire. Je dis de plus que ces diamètres principaux sont, engénéral, les seuls qu’il y ait dans la surface. Supposons qu’on ait pris untel diamètre pour ligne des z, et qu'on dirige, dans le plan diamétralperpendiculaire, les x et les y suivant des axes rectangulaires qui fassentévanouir xy. Il faudra qu’en faisant z=zy dans l’équation de la surface,il en résulte une courbe qui ait l’origine pour centre : or cela exige qu’iln’y ait, après cette substitution, aucun terme du premier degré; parconséquent l’équation de la surface ne doit renfermer aucun des termesen x, y, xz,yz. Elle ne doit pas non plus contenir le terme en z, puisquel'origine est au centre, ni le produit xy, puisqu’on l’a fait disparaître;donc elle a encore la forme précédente [1]. Il résulte de là que le plande xy est un plan principal : c'est-à-dire qu’à chaque diamètre principalil correspond un plan principal; et, en général, comme il n’y a que troisplans principaux, il n’y a aussi que trois axes ou diamètres principaux.

Cependant cette conclusion'souffre exception , ainsi que celle du numéroprécédent, à cause des cas d’indétermination que peuvent offrir les équa-tions [ 1 ] ou [ 2 ]. Ces cas n’ont lieu que pour les surfaces de révolution ,comme on le verra plus loin (635-637).

Remarquez en passant que les trois plans principaux sont conjugués etrectangulaires entre eux, et que leurs intersections déterminent les dia-mètres principaux, qui eux-mémes sont conjugués et rectangulaires. C’estce que prouve l’équation [ï].