4t)4 TROISIÈME PARTIE.

Qiu-1 que toit , clic doit représenter un plan principal, c’est-à-dire unplan perpendiculaire à ses cordes conjuguées s donc on doit avoir (566)

B<f ' + B' = o, A'«T -f B" = (A" + BV') S'.

Comme S' doit demeurer indéterminé, on conclut de là B =o, B' =o,B" = o, A' = A' 1 ; et par suite l’équation de la surface doit être

Aa ’ + A'(j* + r’)-f aCr+aC'j + aC"z+F = o.

Maintenant il est clair qu’en faisant des sections parallèles au plan deyz,on obliènt des cercles qui out leurs centres sur une même perpendiculaireà ce plan, par conséquent la surface est de révolution autour d’une pa-rallèle à l’axe des.z, et c’est ce qu’il fallait démontrer.

Le cas où A' est zéro semble faire exception. Mais on le comprendradans la conclusion générale, en remarquant qu’alors la surface est un cy-lindre parabolique , qui peut être considéré comme produit par la rota-tion d’une parabole autour d’un axe parallèle à son plan, et situé à unedistance infinie de son sommet.

638. Examinons quelques cas particuliers.

i° Soit B = o. La condition [i'j se réduit à B ,, B''= o, égalité impos-sible quand B' et B" sont dilférens de zéro; donc lorsqu’une équation dudeuxième degré entre trois coordonnées rectangulaires n’a perdu qu’unseul rectangle, elle ne peut pas représenter une surface de révolution.

a° Soient B = o, B' =o. Les équations [a'] et [6'] paraissent vérifiées :

g

mais si on élimine entre elles le rapport ^, on trouve une condition quirestera encore à remplir. Les égalités [«'] et [i/] donnent

B _ (A'— A) B" _BB' — B" 1 —B'* ’ B'

(A»-A')+B" (!;_.)

o.

Faisons B' = o : alors gr =

A' — AB" ’

et par suite, en mettant cette

valeur dan3 la dernière égalité, on trouve aisément la condition

[,/] B" ’ = (A" — A) (A' — A).

Quand elle est remplie, les équations [4] de la parallèle à l’axe do révo-lution deviennent

3° Supposons en outre B”=o. La relation \d] exige qu’on ait A"r= Aou A'=A. C’est-à-dire que les coefficicns de deux carrés doivent êtreégaux. Il est évident, en effet, que la surface est alors de révolution au-tour d’une parallèle à l’un des a^ts de coordonnées.