GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS.

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CHAPITRE VII.

PROPRIÉTÉS DF.S DIAMÈTRES CONJUGUÉS.

63g. Dans les surfaces du second ordre qui ont un centre, les diamètresconjugués jouissent d’un grand nombre de propriétés remarquables. Laparfaite analogie de quelques unes d’entre elles avec celles qu’on connais-sait déjà pour l’ellipse et l’hyperbole, suffisait pour les faire découvrir tmais il en est d’autres dont les énoncés étaient entièrement nouveauxquand ils ont paru, et dont on est redevable à MM. J. Binet , Petit etChasles . Les limites de cet ouvrage ne me permettant pas de les exposertoutes, je me bornerai aux plus saillantes.

La définition même des diamètres conjugués ( 606 ) exige que l’équationde la surface ne contienne chaque variable qu’au carré, quand on choisitces diamètres pour axes de coordonnées. Ainsi, en prenant l’équation dela surface rapportée à ses axes, en effectuant la transformation nécessairepour changer la direction des coordonnées sans déplacer l’origine, et enétablissant les conditions qui font évanouir les rectangles, on aura toutesles relations qui existent entre les diamètres conjugués et les axes.

Je ne parlerai que de l’ellipsoïde; mais il sera facile de transporter auxliypcrboloïdc 8 les différentes propositions qui vont être établies. Pour celail suffira de prendre négativement les carrés des axes imaginaires et desdiamètres imaginaires : car toutes les démonstrations subsisteront encoreen y faisant partout cJS changcmens.

640 . Soit l’équation de l’ellipsoïde, rapporté à ses axes (633),

a* ' i 1 ' c a

t.

L’origine devant rester au centre, on prendra (585) les formules

*=“*/+£r,+>*/. r=* ,3r ,+^r/+/*/.

dans lesquelles on représente par x n y n z /y les nouvelles coordonnées ; etpar «, a/, par fi, fi', fi ", par y, y', y", les cosinus des angles formésavec les axes primitifs par les lignes des x t , des y ,, et des z rEn substituant ces valeurs dans [p], il vient une équation de la forme

Aar<’+A'y / ’+AV4-îBa'/y / +aB'x / x / -|-aB'! r /E / = 1 ;

et, pour que la surface soit rapportée à des diamètres conjugués, il fau*dra poser

B —O, B' = o, B" = o.

En même temps, il est facile de voir que, si on nomme a!, b' f c', les

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