GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 4G9

De même, en conside'raDt les parallélogrammes G et H, on doit avoir

A’e* a'c*

G’ = ^-r- + — U'P",

a* * b 2 1 *•*

«•=■*£■ ✓ v +~ JW '+—✓ V-

Donc, en ajoutant les trois dernières égalités, et réduisant au moyen deséquations [4], il vient

F*+ G a + H* = b 2 c 2 + a 2 c 2 +a 2 b 2 ;

et de là résulte le théorème énoncé.

645* Théorème IV. Si on projette sur un plan fixe les faces du parallé-lépipède construit sur trois diamètres conjugués de Vellipsoïde , la sommedes carrés des projections sera constante.

Soient F', G', H', les projections des parallélogrammes F, G, H, surun plan fixe, et <f', <f ", les cosinus des angles de ce plan avec les plansdeyz , de xz et de xy . Rappelons que, pour projeter une aire plane sur unplan donné, on peut la projeter d'abord sur trois plans rectangulaires,et projeter ensuite les trois projections sur le plan donné ( 529 ). 11 suit delà qu’on aura

F'=+ ~ a', t'+ ~ aU",

G'=*r+ s '/'+*"/»= vu»,

H'= hJ+h'i'+h"S"=!f c'y + c’y' 4- c'y".

En élevant au carré, ajoutant, et réduisant à l’aide des équations [4] et[5], il vient

F*+G'* + H'* = fc*eV + «*eV'* + a *4V,

résultat qui reuferme le théorème à démontrer.

• 646 . Théorème V. Le volume du parallélépipède construit sur trois dia-mètres conjugués d'un ellipsoïde est constant et égal au parallclipipèdeconstruit avec les axes •

Ce parallélipipède, que je nommerai V, est égal à six fois la pyramidetriangulaire, formée avec les demi-diamètres a', b t". Soient (fig. 38)OF, OG, OH, ces demi-diamètres, dont les extrémités F, G, H, ontpour coordonnées x\ y* % z', etc. Cherchons d'abord le volume de la pyra-mide OFGH en fonction de ces coordonnées. A cet effet, abaissez lesperpendiculaires FP, GQ, HR , sur le plan de xy y et achevez les construc-tions indiquées sur la figure. Alors, faites attention aux quatre solidesPQRHFG, OPQGFO, OPRHFO, OQRHGO; et vous verrez que lapyramide OFGH est égale à la somme des deux premiers, moins celle desdeux derniers. Ces quatre solides peuvent être considérés comme desprismes triangulaires tronques; et par conséquent, on a

PQRHFG = *PQR.(z'+z"+z'"), OPQGFO =r*OPQ.(*'+*« ),OPRHFO = J OPR. (r'.f z"') , OQRHGO— ! OQR \z"+z "'),