476 TROISIÈME PARTIE.

Ainsi, on doit regarder comme démontré que la courbe de contactd’une surface donnée avec un cône, qui lui est circonscrit, est toujourssituée sur une surface d’ordre inférieur a celui de la proposée .

Par conséquent, la ligne de contact d’un cône circonscrit a une surfacedu second ordre doit être plane.

654- La normale à une sqrface est la perpendiculaire menée au plantangent, par le point de contact. Le plan tangent a été trouvé sans faireaucune hypothèse sur les angles des coordonnées 5 mais, afin de rendreles équations de la normale plus simples, on suppose les axes rectangu-laires. Alors on trouve facilement (566)

[8] Z'(x-x')=X'(z-z'),

pour les équations de la normale.

Plan tangent aux surfaces du second ordre. ,

655. Appliquons au second ordre les résultats précédens. Prenonsd’abord l’équation générale

[A] Ax’-f-A y +A' , a , -j- 2 Bary-J-aB , arz-(-aB"ya

-f- aCx -j- aC'jy -J- 2C"z -J- F = o.

Dans ce cas, on a

X' = a(Ax' + By' + BV + C),ï' = a (A'/ + Bx' + BV + G'),

Z' = a (AV+B'a' + B'V' +C"),

— V , = 2 (Cx / 4 -Cy + CV + F);

et par suite l’équation du plan tangent, n° 65o, devient, après qu’on l’adivisée par 3 ,

[ 1 ] (Ax'+B / + BV + C)a: + (Ay + B*' + BV + C'y

+(AV+BV' + By+C")a+Car' + Cy+CV+Fr=o.

Quand la surface a un centra, on peut la représenter par l’équation

[E] Px’+Py-fPVtrrH;et alors l’équation du plan tangent devient

[a] Px'x + Py r + P Vz = H.

Quand la surface n’a pas de centre, on peut mettre son équation sousla forme

[F] Py+ PV = aQx;

et l’équation du plan tangent est simplement

[3] Py r + PVz = Q (* + *').

Afin de mieux fixer les idées, dans ce qui va suivre, on ne considéreraque l’ellipsoïde : mais les conséquences seront énoncées en termes géné-raux , parce qu’il sera facile de voir qu’elles s’étendent aux hyperbo-loïdes, en prenant négativement les carrés des diamètres imaginaires; etaussi aux paraboloïdes, en regardant ces surfaces comme ayant un centresitué à l’infini.