G^OJrÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 477
G56. Prenons pour l’ellipsoièPe l'équation
w
4 -— 4 -
dans laquelle a, b, c, sont trois demi-diamètres conjugue's : celle duplan tangent sera
r/n x ' x 1 y Y I z!z —
Par le point de contact, menons un diamètre : ses équations sont
x — -^z, y— z; et par suite, celle du plan diamétral conjugué de-
vient (6ao)
x'x , rV i a 7 z
~r+-£r+-p--°-
Donc le plan tangent a l’extrémité d’un diamètre est parallèle au plandiamétral conjugué de ce diamètre.
65?. Cherchons la trace du plan tangent sur le plan de xy, et pourcela faisons z = o dans [4] : il vient
î^ + £ï = i .a a ^ £ a
Or il est évident que cette équation ne change pas, si on donne à c et z'd’autres grandeurs, et même une autre direction, pourvu qu’on n’altèreni les longueurs ni les directions des lignes a, b , a/,y. Donc,
Si plusieurs surfaces du second ordre sont coupées , par un plan diamé-tral commun , suivant la même courbé , et si, par un point quelconque dece plan , on mène , dans chaque surface , la corde conjuguée a ce plan ;les plans tangens aux extrémités de ces différentes cordes iront tous ren-conli'er le plan diamétral suivant la même trace .
658. Faisons à la fois y = o et z = o dan9 [4] ; on a
valeur qui ne contient que a et x r . Ainsi, les grandeurs et les directionsde b , c, y t z', peuvent varier sans que cette valeur change : donc,
Si des surfaces du second ordre ont un diamètre commun , et si, par unpoint de ce diamètre, on mène , dans chaque surface, le plan conjugué quila coupe suivant la courbe dont le centre est en ce point; les plans tangensaux surfaces y dans tous les points de ces courbes concentriques, iront ren-contrer le diamètre commun au même point .
659 . Actuellement je vais considérer le cas où il serait question demener un plan tangent à une surface du second ordre, par un point exté-rieur à la surface. Considérons toujours l’ellipsoïde représenté par l’équa-tion [p], désignons par x l} , y", z n , les coordonnées du point donné, et parx f , y, z f , celles du point de contact : on aura, entre ces trois inconnues,les deux équations
[5]
z"z