GÉOMÉTRIE ANALVTIQjE A TROIS DIMENSIONS.

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CHAPITRE X.

DISCUSSION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES DU SECOND ORDREA TROIS VARIABLES.

Exposé de la méthode.

693. Les propriétés distinctives de chaque surface du second ordre étantconnues, ainsi que celles des cas particuliers qui s’y rattachent, je vaisexposer la marche à suivre pour déterminer à quelle surface ou à quelcas particulier se rapporte une équation du second degré, dont les coeffi-cicns sont des nombres donnés.

Après avoir ramené l’équation à la forme

[A] Ax’ 4 - AV 1 4 - A"z’ 4 - aBary -i-nli'xz 4 - aB "yz

4 -aCa:+aCy+aC ,, z'+r=o,

on égale à zéro les polynômes dérivés du premier membre, relatifs à x,à y, et à z : on a ainsi trois équations du premier degré, qui doiventdonner pour valeurs de x, y, z, les coordonnées du centre (617). Or larésolution de ces équations conduit à distinguer quatre cas généraux (618).

1” Celui où il n’existe qu’un seul centre; a° celui où il y a une infinitéde centres, situés sur une ligne droite; 3 ° celui où il y a une infinité decentres, situés dans un plan ; 4° celui où il n’existe pas de centre.

(x) 3 . Premier cas. On transportera l’origine au centre, et il viendra uneéquation telle que

[G] Ay’ -j- A'x’ + A"* 1 -j-jaBary -|- aB'arz -j- aB "yz -j- G=o,

dans laquelle les coefficiens sont les mêmes que dans [A], à l’exceptionde G, dont la valeur est (617)

G = Cf+C'g + C"h + ¥.

Supposons G différent de zéro, divisons l’équation [G] par —G, etformons celle qui fait connaître les axes de la surface ( 63 a). Pour cela ,il faut remonter à l’équation [ 3 ] du n° 637, et y remplacer A, A',...A A'

par — ^ ,... En faisant pour abréger,

G G

_ A-j-A' + A"

M =

IV =

G

AA'-j-AA"-j-A'A" — B’ — B' J

- B"’

AB"’ + A'B” + A"B’ — AA'A" — aBB' B"

qT

3 a