498 TROISIÈME PARTIE.

l'équation dont il s’agit sera

[a] a 3 —La’ + Ma —N = o.

On sait (63a) que ses racines ne sont jamais imaginaires, et qu’en les dési-

gnant par a', a", a 1 ", les demi-axes de la surface sont v'iVjVi-Puisque ces racines sont re'elles, la règle de Descartes suffit pour connaîtreleurs signes. Si l’équation [x] a trois variations, les racines x', x", x"', sontpositives, et la surface a ses trois axes réels; donc elle est un ellipsoïde.S’il y a deux variations seulement, la surface n’a que deux axes réels ;c’est un hyperboloïde à une nappe. S'il n’y a qu’une seule variation, lasurface n’a qu'un axe réel; c’est un hyperboloïde à deux nappes. Maisquand l’équation [x] n’a que des permanences, ses racines étant négatives,les trois axes deviennent imaginaires ; et alors la surface elle-même est

imaginaire, c’est-à-dire qu’il n’existe aucun point dont les coordonnéespuissent vérifier l’équation proposée.

Pour faire usage de l’équation [x], il faut que les coordonnées soientrectangulaires : c’est pourquoi j'indiquerai encore le procédé suivant,qui est indépendant de cette supposition.

On mène une droite quelconque par le centre, et on examine si, danstoutes ses positions, elle rencontre la surface, qui alors est un ellipsoïde.S’il y a des positions où la droite rencontre la surface, et d’autres où ellene la rencontre pas , ce sera un des hyper boloïdes; et, pour distinguerlequel des deux, on fait passer un plan par le centre, puis on cherche si,en variant les positions de ce plan, il peut couper la surface suivant desellipses, ce qui fera reconnaître l’hyperboloïde à une nappe. On peutencore obtenir la même conclusion en examinant si un plan peut couperla surface suivant une droite. Souvent les sections faites par les plans co-ordonnés, ou par leurs parallèles, suffisent pour obtenir toutes les indica-tions dont on a besoin.

Jusqu’ici on a supposé G différent de zéro; soit maintenant G = o :l’équation [G] se réduit à

Ax l 4-A+ A "z* -{“ nB xy 4- aB f xz 4- aB "yz = o.

Elle est vérifiée par les valeurs x=zo,y=.o > z=o; ainsi le centre faitpartie de la surface : et, comme nous sommes toujours dans l’hypothèse oùil n’y a qu’un seul centre , l’équation doit représenter un cône ou un pointunique. Pour décider entre les deux cas, on fait une section parallèle à undes plans coordonnés , et on examine si elle est réelle ou imaginaire.

694* Deuxième cas. Quand on résout les trois équations qui déterminentle centre , il peut se faire qu’en tirant, de deux des équations, les valeursde deux inconnues, et en les portant dans la troisième équation, celle-ci sevérifie d’elle-même, sans aucune détermination de la dernière inconnue.On doit conclure de là que les plans représentés par les trois équations secoupent suivant la même droite, et que tous les points de cette droitepeuvent être pris pour centres. Ce cas est celui dont nous nous occupons.

Alors l’équation proposée doit représenter ou un cylindre elliptique ,ou un cylindre hyperbolique, ou deux plans qui se coupent, ou une