GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 499
droite unique, ou une surface imaginaire : or il est évident que touteindécision disparaîtra en coupant la surface par les plans coordonnés.Quelquefois la section faite par un seul de ces plans suffira. Par exemple,si celui de xy donne une ellipse, on peut affirmer que la surface est uncylindre elliptique; mais si elle donne deux droites parallèles, il fautrecourir au plan de xz. Si on trouve encore deux droites parallèles, on sesert du plan yz, et il ne pourra plus rester aucun doute, frayez lesexemples {698).
695. Troisième cas. Ce cas a lieu lorsque la valeur d’une inconnue ,tirée de l’une des trois équations qui doivent déterminer le centre , rendidentiques les deux autres équations. Alors il existe une infinité decentres, dont le lieu est un plan, et l’équation proposée devra représenterdeux plans parallèles , ou un plan unique, ou deux plans imaginaires. Lessections faites par les plans coordonnés écarteront toute indétermination.
69(1. Quatrième cas. On reconnaît ce cas à ce que, en cherchant lescoordonnées du centre, on arrive à une absurdité évidente, telle que 2=3,par exemple. Alors il n’existe pas de centre, et les sections parallèles auxtrois plans coordonnés achèveront de résoudre la question. En effet, ondoit avoir ou unparaboloïde elliptique, ou un paraboloïde hyperbolique,ou un cylindre parabolique; et je vais montrer que ces sections donnentdes résultats diflérens pour chacune de ces surfaces.
Dans le paraboloïde elliptique , les sections doivent être des parabolesou des ellipses ( 663 ) : or, les plans qui donnent des paraboles sont paral-lèles à une même droite ; donc , sur les trois séries de sections, il y en aau moins une qui se compose d’ellipses. Un raisonnement semblableprouve que , dans le paraboloïde hyperbolique , il y aura au moins unede ces séries qui donnera des hyperboles. Enfin , quand la surface est uncylindre parabolique, les sections ne peuvent être que des paraboles oudes droites parallèles.
Exemple*.
697. Exemptes dans lesquels ily a un centre unique.
Exbmple I. Soit l’équation
[1] — 4 x — 4 2 —°-
Je forme d’abord les équations dérivées
X +X— '=o, ar + x —a = o, z —1=0.
On en tire x~ o, y = 1 , z = 1 ; donc il y a un centre unique.
En comparant l’équation [1] avec [A], on voit que C = — 1, ( 7 — — 2 ,C"= -- 2 , F = o. Par suite, la quantité G devient G = — 4 > ct en P^ a 'cant l’origine au centre , il vient, pour la surface,
[2] ar’-J- ay’-J- axy— 4 = °*
Je cherche maintenant ce que devient l’équation [x] (les coordonnéessont supposées rectangulaires). Il faut prendre A — 1 , A' 2, A" = 2 ,B = 1, B'= o, B" = o, G = — 4 - P ar suite, L = }, M = ^, N = ^7 ; l’é-i| nation [x] devient x 3 — J x’-j- ^ X — -L = o ; et, puisqu’il y a trois varia-tions, 011 conclut que la surface est un ellipsoïde.