516 TROISIÈME PARTIE.

de l’élimination de x , y, z , entre [*] et [>]. Je représente encore cetteéquation par

et alors, en éliminant a et 0 entre cette équation et celles du parallèle,on trouve, pour l’équation générale des surfaces de révolution ,

F [Kx + Bj- +*, (x — a)’+ (y — 6)’+(z —c)’] == o.

727. Problème. Une surface donnée étant liée d'une manière invariablea. un axe de révolution, et tournant ensuite autour de cet axe, trouverl'équation de la surface qui touche et enveloppe la surface mobile danstoutes ses positions.

Il est clair qu'il y a sur la surface donnée une ligne qui décrit la sur-face de révolution, et que le plan tangent à la surface donnée, en chaquepoint de cette ligue, doit être aussi tangent à la surface de révolutiondemandée. Donc ce plan doit être perpendiculaire au plan méridien quipasse par le point que l’on considère (724). Par conséquent, en prenantsimultanément l'équation qui exprime cette condition avec celle de lasurface donnée, on aura deux équations en x , y, z , qui représenterontla ligne génératrice, et la question sera ramenée aux précédentes.

Surfaces gauches.

728. On nomme surfaces gauches celles qui sont engendrées par uneligne droite, et qui ne sont pas développables.

Toutes les surfaces décrites par une droite, soit gauches, soit dévelop-pables, sont comprises dans la dénomination générale de surfaces réglées .

Dans toutes ces surfaces, le plan tangent en un point doit contenir lagénératrice qui passe par ce point; mais, pour cela, il n’est pas tangent àla surface en chaque point de cette génératrice. Cette propriété n'a lieuque pour les surfaces développables.

729. Parmi les surfaces gauches, on remarque principalement:

i® Uhyperboloïde a une nappe, engendré par une droite qui se meutsur trois droites non parallèles à un même plan.

2 0 Le paraboloide hyperbolique ou plan gauche , engendré par une droitequi se meut sur deux droites, en restant toujours parallèle à un plan.

3 ° Le cylindre gauche, engendré par une droite assujettie à demeurerparallèle à un plan, et à s’appuyer sur deux courbes quelconques.

4 ° Le conoïdc, engendré par une droite qui reste parallèle à un plan ,et qui glisse sur une droite et une courbe.

A l'égard des deux premières, nous remarquerons qu’elles sont lesseules surfaces gauches comprises dans les surfaces du second ordre , etque leurs propriétés ont été exposées précédemment.

730. Si on veut appliquer le calcul à la définition des surfaces réglées,on prendra les équations

[ 1 ] x-^az-\-A , y=bz-\*$,

pour représenter la génératrice dans une position quelconque ; puison remarquera qu'il faut, pour que cette droite décrive une surface dé-