géométrie analytique a trois dimensions. 517

terminée, que trois des quantités a , a , b, è , soient des fonctions de laquatrième. Donc, quelle que soit la surface réglée, les équations de lagénératrice peuTent s'écrire ainsi v

ar = ap(*) + «t, y — +

les lettres p, % » indiquant des fonctions, et et étant une indéterminéedont la variation fait mouvoir la génératrice.

Au lieu de supposer a , b, fi y fonctions do et, on peut assujettir cesquatre quantités à trois équations de condition; et alors, pour avoir lasurface, il faut éliminer a y et, b y fe y entre ces équations et les équations [i].

tquant à ces équations de conditions, elles résultent ordinairementdu mode particulier de génération que Ton considère. Ainsi, elles expri-meront que la génératrice se meut sur trois lignes données ; ou sur deuxlignes, en restant parallèle à un plan; ou bien sur une ligne seulement,en demeurant constamment parallèle à un plan et tangente à une surfacedonnée ; ou encore de bien d’autres manières. La méthode à suivre , poursoumettre ces différons cas à l’analyse, est maintenant assez connue, et denouveaux développcmens seraient inutiles.

Si on veut que la surface réglée soit développable, il faut choisir lesrelations des quantités a , et, b, $ , de telle sortejque chaque position de lagénératrice soit dans un même plan avec la position infiniment voisine.Mais, pour exprimer cette condition dans l’analyse, il faudrait emprun-ter au calcul différentiel des considérations qui lui sont propres, et quine sont pas de nature à trouver place dans cet ouvrage,

^3i. Les propriétés les plus importantes des surfaces gauches, et qu'ona le plus souvent occasion d'appliquer, sont plus faciles à établir par lagéométrie que par l’analyse. Sur ce point, je pourrais renvoyer à montraité de Géométrie descriptive ; mais il sera plus commode pour le lecteurde trouver ici cette théorie.

Et d’abord, démontrons qu'on peut en général décrire une surface enfaisant mouvoir une droite snr trois directrices données. A cet effet, pre-nez à volonté un point de la première directrice pour sommet d’un côneengendré par une droite qui s’appuierait sur la seconde directrice. Cecône va couper la troisième directrice en un point ; et la droite menéepar ce point et par le sommet du cône, élaut tout entière sur le cône,doit rencontrer la seconde directrice : cette droite s’appuie donc sur lestrois lignes à la fois. On peut répéter cette construction en prenant descônes qui aient successivement pour sommets tous les points de la pre-mière directrice ; et alors il est clair que la droite qui les rencontre toutestrois, changeant ainsi continuellement de position , détermine une surface.Il est évident d’ailleurs que la même surface peut être produite en prenantpour directrices trois lignes quelconques tracées sur cette surface.

Quelles que soient les courbes qu’on prenne pour directricesd’une surface gauche, on peut les considérer comme des polygones d'uneinfinité de côtés, et par suite la surface elle-même comme composée d’uneinfinité de faces gauches, dont chacune est une portion d’hyperboloïdeou de paraboloïde, indéfinie en longueur, mais d’une largeur infinimentpetite. Cela signifie, en d’autres termes , que si on prend sur cette surface