GlÊOMlÊTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 519

foces se réunissent, toujours par une génératrice le long de laquelle il yait trois plans tangens communs : car alors elles se toucheront dans toutel’étendue de cette génératrice, et pourront être considérées comme n’enformant qu’une seule. C’est ce qu’on appelle raccorder les surfaces.

733. Ce qui vient d’être dit se rapporte aux surfaces gauches en général :considérons en particulier les cylindres gauches, qui sont décrits par unedroite qui reste parallèle à un plan et glisse sur deux courbes. Si on mènedes tangentes à ces courbes en deux points d’une même génératrice , etqu’on fasse glisser sur elles une droite parallèle au plan donné, on en-gendre ainsi un paraboloïde hyperbolique; et, eu reprenant les raisonne-mens précédens, on arrive facilement à conclure que ce paraboloïde esttangent au cylindre gauche, en tous les points de la génératrice commune.Alors aussi il est facile de voir que si deux cylindres gauches ont le mêmeplan directeur, il suffît qu’il y ait, sur une génératrice, deux plans tan-gens communs, pour que les deux surfaces se raccordent parfaitement.

734 * Considérons de nouveau une surface gauche quelconque, et sup-posons qu'on veuille construire géométriquement le plan tangent en unde ses points : il est clair qu’on pourra la remplacer par une surface dusecond ordre qui ait avec elle trois plans tangens communs, sur la géné-ratrice passant au point de contact. Or, on sait qu’on peut mener par cepoint une autre droite sur la seconde surface ; le plan tangent à cette sur-face, en ce point, contient ces deux droites : ce plan tangent sera doncdéterminé; et par conséquent aussi le plan tangent à la surface proposée,car il doit être le même.

735. Comme on peut mener à la surface donnée une infinité de tangentespar chacun de ses points, il est évident qu’après avoir pris trois points àvolonté sur une de ses génératrices, on peut choisir d’une infinité de ma-nières un système de trois tangentes passant respectivement par ces points;et dès-lors il est évident aussi qu’il existe une infinité de surfaces dusecond ordre qui sont tangentes à une surface gauche suivant une géné-ratrice, et qui peuvent être employées dans la construction du n° précé-dent. En général, ces surfaces du second ordre sont des hyperboloïdes ;mais rien n’empêche de prendre pour directrices les tangentes menées àtrois sections parallèles faites dans la surface donnée, et alors elles déter-mineront un paraboloïde.

On voit même qu’il y a une infinité de paraboloïdes tangens, tels quecelui dont on vient de parler; car on peut varier d’une infinité de ma-nières les trois sections parallèles. Toute indétermination cessera , si onfait ces sections perpendiculairement à la génératrice suivant laquelle lasurface proposée doit être touchée.

736. Coupons en effet, ainsi qu’il vient d'être dit, la surface par trois plansperpendiculaires à une génératrice G (fig. 56); et soient ar, bs, et, lestrois tangentes qui déterminent alors un paraboloïde hyperbolique tan-gent. à la surface proposée. On sait qu’il doit y avoir, sur ce paraboloïde,deux systèmes de droites : les unes, telles que G, qui rencontrent lestangentes ar, bs, et; et les autres, telles que ar, qui rencontrent chacunedes premières. On sait de plus que les droites de chaque système sontparallèles à un même plan. Or, par construction , les lignes ar, bs, et,