TROISIEME PARTIE.

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(fig. 54) deux génératrices G et G' aussi voisines qu’on voudra, lesquellesrencontrent les directrices aux points a, b, c, a ', b*, d ; si on prolongeles élémens de ca*rbe aa\ bb r , cd, ce qui donne les trois tangentes ar,bs 9 et ; et si on fait glisser la ge'nératrice G sur ces trois tangentes : onobtiendra ainsi une nouvelle surface qui aura avec la première une partiecommune, comprise entre les génératrices G et G'. De là on conclutqu'en chaque point de la droite G, le plan tangent à l’une des deux sur-faces l’est aussi à l’autre.

Pour mettre cette proposition dans un plus grand jour, ne supposonspas d’abord les génératrices G et G' infiniment rapprochées ; menons(fig. 55) les sécantes aa'r, bb's, cdt, et prenons-les pour directrices d’unesurface gauche du second ordre (qui pourra être un hyperboloïde ou unparaboloïdc). Il est démontré ( 671 , 679 ) qu’il existe sur cette surface unsecond système de génératrices , qui toutes rencontrent les premières :soit mp l’une d'elles, qui coupe G et G' en m et n. Imaginons que G' serapproche de plus en plus de G : les lignes ar, bs, et, changeront de po-sition , et avec elles la surface dont elles sont directrices. En même tempsla droite mp change aussi, mais elle ne cesse pas d’être située sur cettesurface, quelque petite que soit la distance de G' à Gj donc il en estencore de même au moment où ces génératrices coïncident. Mais alors ar,bs, et, deviennent tangentes aux directrices de la surface proposée, et mpdevient tangente à cette même surface ; ou, ce qui est la même chose, mpdevient tangente à une certaine courbe tracée par le point m sur cettesurface, et le long de laquelle on peut supposer que se meut le point n.Donc , quand les génératrices G et G' sont réunies, le plan amp devienttangent en m à la surface proposée : et remarquez en outre que ce plan necesse pas d’être tangent à la nouvelle surface , puisqu’il contient toujoursdeux droites am et mp situées sur cette surface.

Comme ces raisonnemens s’appliquent à tous les points de la généra-trice G, on conclut, comme plus haut, que si, par les points oü les tjr>iscourbes directrices d’une surface gauche sont rencontrées par une de sesgénératrices, on mène des tangentes a ces courbes, et quon prenne cestangentes pour directrices d'une surface gauche du second ordre ', cettenouvelle surface sera tangente a la première dans toute l’étendue de lagénératrice commune : c’est-à-dire que les deux surfaces ont même plantangent en chaque point de cette génératrice.

De ce théorème découle cette conséquence importante, que deux sur -faces gauches qui ont trois plans langeas commuas le long d’une mêmegénératrice, sont tangentes l’une a l’autre en tous les points de cette géné-ratrice. En effet, si on mène trois plans quelconques par les points decontact, ils couperont les plans tangens suivant des droites tangentes auxdeux surfaces à la fois : or la surface gauche du second ordre, qui a pourdirectrices ces trois tangentes, doit avoir, en chaque point de la généra-trice commune , le même plan tangent que les surfaces proposées; doncaussi ces dernières sont tangentes l’une à l’autre dans toute l’étendue decette génératrice.

Pour former des voûtes on emploie quelquefois un ensemble de plu-sieurs surfaces gauches. Dans ces cas, on doit faire en sorte que deux sur.-