19

Nun ist aber cos A x = 1stehende

A y = cos x sin A x •

2 sin

Ax

, folglich gibt das Vor-

2 sin x sin

( 1 )

Av sinAx

= cos x — --

Ax Ax

sin x -

Ax

2

Ax

2

Ax

~ 2 ~

■ sin

Ax2 '

Nimmt hierin Ax ohne Ende ab, so konvergieren die Brüche

Ax

cirt I

sin AxAx

sin

Ax

2

riAx

gegen die Einheit (§ 5) als einer Grenze, während der Faktor sin

im zweiten Gliede rechts in (1) gegen die Null konvergiert. Folglichnähert sich in (1) das erste Glied rechts der Grenze cos x und daszweite der Grenze Null. Wenn Ax zu dx wird, geht somit Gleichung (1)über in

(2) d sin x = cos x d x.

Das Differential des Sinus eines Bogens ist hiernach gleich demCosinus dieses Bogens, multipliziert mit dem Differential des Bogens.

Beispiele, d sin 2x = cos 2x ■ d 2x = 2 cos 2x dx.

dsin

1 9 ,

¥ cos y dy.

20. Differential eines Cosinus. Es ist

cos x = V1 — sin 2 x.

Wird auf beiden Seiten differentiiert unter Berücksichtigung von§ 15, 11 und 19, so erhält man

— 2 sin x cos xdx

d cos x =

2 VT

Ersetzt man hierin die Wurzel im Nenner durch cosx, so kommtd cos x — — sin xdx.

Folglich ist das Differential des Cosinus eines Bogens gleich demSinus dieses Bogens, mit entgegengesetztem Zeichen genommen, multi-pliziert mit dem Differential des Bogens.

Beispiele, d cos nx= — sin nx • dnx= — n sin nx dx.

dsinxcos x = (cos 2 x — sin 2 x) dx = (1 — 2 sin 2 x) dx.

d log (sin x) 2 =

d(sinx) 2 2 cos xdx

sin x

sinx

2 *