EXERCICES ET PROBLÈMES DIVERS. 271

En effet, toutes les fois que l’équation x 2 -hpx-hq = opourra prendre la forme (x —«) 2 + B 2 — o, on en tirera

x = a±\J —p% expression imaginaire.

On convient d’appliquer à l’expression \j —p 2 les règles ducalcul algébrique comme à une quantité réelle dont le carréserait — p 2 . D’après cela, \J — p 2 = p\/— i, les carrés de cesdeux expressions étant les mêmes.

Les notions fondamentales relatives aux expressions imagi-naires se réduisent aux suivantes :

i° Le type des expressions imaginaires est a ±p\/—i; ilcomprend les quantités réelles, car on convient que p\/— i estnul quand p = o; et, dans cette hypothèse, il se réduit à a quiest une quantité réelle.

2 ° L’expression imaginaire a -t- p \/— i est nulle quand on aséparément a = o et p = o.

3° Deux expressions imaginaires sont dites conjuguées quandelles ne diffèrent que par le signe de V"— r, ainsi a + ( i\j — iet a — pV— i sont des expressions imaginaires conjuguées.Leur somme est une quantité réelle 2 a; leur produit est unequantité réelle + P' 2 .

4° On nomme module de l’expression imaginaire a+ p\/— 1la quantité réelle -h- -+- fi 2 ; par exemple, 2 + 5 V— 1 a pour

module +^4+25 ou +V 2 9-

Il résulte de là que deux expressions imaginaires conjuguéesont le même module, et que le module d’une quantité réelleest la valeur absolue de cette quantité.

5° Pour que deux expressions imaginaires a + py 1 —1et « / -t- p'V— 1 soient égales, il faut et il suffît qu’il y ait éga-lité entre les parties réelles a et a', puis entre les parties ima-ginaires, ou, pour mieux dire, entre les coefficients de \J — 1 ;ainsi l’égalité

«+ p\/— I = a'-t- P'V— 1

est la représentation symbolique des deux égalités entre quan-tités réelles : a = a' et 6 = 8L

Il résulte de là que l’égalité de deux expressions imagi-