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DEUXIEME PARTIE.

naires entraîne l'égalité de leurs modules; mais la réciproquen’est pas vraie.

On voit enfin que si le module \ja 2 + p 2 de l'expression ima-ginaire a-|- pV— i est nul, cette expression est nulle aussi. Laréciproque est évidente.

On sait que les expressions imaginaires jouent un rôle im-portant dans la discussion de certains problèmes et entre au-tres dans la recherche des maxima ou minima qui dépendentdes équations du second degré; mais ces expressions n’étant quedes symboles, on ne comprend pas d’abord la nécessité de lesétudier en elles-mêmes. C’est pour montrer l’importance decette étude que je vais entrer dans quelques détails.

Soit F (x, y) — o l’équation d’une courbe plane. Toute solu-tion de continuité est accusée par une expression imaginaire,et cela arrive quand la fonction y est rendue imaginaire pourcertaines valeurs attribuées à x. On reconnaît par là les limitesde la courbe dont on a l’équation; et l’on découvre ainsi, plusgénéralement, les conditions de possibilité d’un problème.

S’il arrive qu’en faisant varier x entre deux limites pourlesquelles y est réelle, cette fonction devienne imaginaire pourdes valeurs intermédiaires de la variable x, ces solutions decontinuité nous apprennent que la courbe a des points isolés.

Les imaginaires conduisent à des transformations plus oumoins importantes qu’on découvrirait difficilement sans leursecours. Pour en donner un exemple, soient les égalités :

a-h Va 2 —b

Ces formules servent à transformer un radical complexe enune somme ou en une différence de deux radicaux simples,quand a 2 —b est un carré parfait; elles deviennent poura = o et b = — i :