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DEUXIEME PARTIE.

deuxième décomposition,. Le problème proposé admet doncdeux solutions.

Soit, par exemple, à décomposer en deux facteurs le pro-duit

(2 s -t-I ï )(3 , + 2 s ) ou 65,

(1) donne

(2 2 + I 5 )(3 2 -t-2 2 ) = (2.3—1.2) î -f-(2.2 + 1 • 3) 2 = 4 9 + 7 s ;

(2) donne

(2 , + I s )(2 ! +3 2 ) = (2.2— I .3) 2 + (2.3+ 1.2)-’= l’-f-S 8 .

Les imaginaires sont utiles comme moyens de démonstra-tion, et l’exemple suivant en est la preuve :

Théorème. — Si un nombre est la somme de deux carrés,son carré est encore la somme de deux carrés.

. Soit

(1) N = a , -^-(i ,2 .

Nous pouvons écrire

N=(aH-PV := î)(a — $\J— 1),

d’où

N*=(a 2 — —i)(a*— P 2 —2 —1),

ou

(2) N 2 = (a 2 — p) 2 — (2 yCTT) 3 = (a‘—p*) f + (2a(3) 2 ,c. q. f. d.

Supposons a = 2, fi = i, auquel cas N = 5 en vertu de laformule (1); la formule (2) nous donne

5 2 = (4—1) 2 +4 2 ou d 2 =3 2 +4 2 .

En résumé, les expressions imaginaires sont des symbolesauxquels on est convenu d’appliquer les règles du calcul; ellescontribuent à donner à l’algèbre son haut degré de générali-sation; elles sont d’une grande utilité, soit pour transformerles formules, soit pour démontrer les théorèmes; enfin,comme eiles nous mènent à la vérité, à travers les ténèbres,on peut dire qu’elles remplissent dans la science l’office detunnel.