EXERCICES ET DBOHI.KMES DIVERS.

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d’où _ _

\/ h- V—1 + \/— V I:: ï = v^>

résultat remarquable.

Remarque I. — Les puissances successives (le \J—i sont pé-riodiquement :

4- V— *’ ——\—i» 4-i.

Les puissances successives de —V— i sont périodiquement:

4-i, — \J —i, —i, 4— V— I -

Remarque II. — Les racines cubiques de l’unité sont :

— 14- V3 • V — i — i — V3 • V— 1X ’ -â-’ -2-

On les obtient en résolvant l’équation x s =i, laquelle pouvants’écrire :

(x —i)^’ 4-#4- r) =o,se décompose dans les suivan'es :

x —i = o, æ® 4~ x 4" i — o.

Enfin, on peut vérifier que chacune des deux racines cubi-ques imaginaires de i est le carré de l’autre; et l’on démontreaisément que si a désigne la valeur arithmétique de \/\ et «une des deux racines cubiques imaginaires de i, les trois ra-cines cubiques de A sont :

a, aa, aa 2 .

Problème. — Décomposer en deux carrés le produit de deuxnombres dont chacun est la somme de deux carrés.

On a

(<st4-PV— 1 ) (yH-^V — i) = ay — (3à 4-\^7(a& + (3y) ;mais on démontre que le produit des modules de deux facteursimaginaires est égal au module du produit de ces facteurs;donc

(1) (« 2 + p 2 )(f + S>) = (ay-pà) 2 + (aS + |3y) 2 ,

et si l’on change dans cette égalité y en 8, et réciproquement,il vient

( 2 ) (a 2 4- P’) (S* -h y 2 ) = (a$ - Py)* 4- (ay 4- p£) s ,

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