CAPITULO VII

FUNCÇÕES DEFINIDAS POR SÉRIES. SINGULARIDADES DAS FUNCÇÕES

I

Funcções definidas por séries

138 . — Vamos n’este Capitulo estmlar as funcções defi-nidas por séries para estabelecer as condições da sua conti-nuidade, e achar as suas derivadas. Em seguida, formaremospor meio d’estas funcções exemplos das singularidades maisimportantes relativamente á continuidade e ás derivadas, queas funcções apresentam.

139 . — Continuidade das funcções definidas por séries.— A este respeito vamos demonstrar o seguinte:

Theorema. — Se a série

(1) f (x) = (x) -)- /à (x) -f- ... -T f n (x) + ...,

onde /j (x), f 2 ( x ), etc. representam funcções continuas de xn’um intervallo comprehendido entre dois numeros dados,fôr uniformemenle convergente n’esle intervallo, a funeçãof ( x ) é continua no mesmo intervallo.

Seja a um numero pertencente ao intervallo considerado.Por ser uniformemente convergente a série anterior, a cada