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Methode der kleinsten Quadrate.

§ io

'Lp ««] Qi + Lp “ B] Qi = oi n9 \

so wird y -+- [p a ic] Q z + \p b «:] Q z — 0

oder nach w t w z w 3 geordnet:

y -+- (QiPi «i -i- Q% Pi \) »i + (QiPi « 2 + QzPz h) w %+ (QiPz «j + Q 2 ä & 3 ) «’s = o.

Aus der Vergleichung dieser und der Gl (10) folgt:

'7 = Qi + Q 2 \

1 J t

ßz

hieraus wegen (12):

und dann

öi «j -+- Qz h

P 2

^~ = Ql a 3 + Qz \

P 3

O fl = 0 [6 fl = 1

[«]=«.'

Man findet also wenn man aus Gl (12) Q z eliminirt, und

dann Q z bestimmt.

Da aber die Coefficienten von Q t Q 2 in Gl (12) gleich denen

von xy in Gl (7) sind, so erhält man auch m , wenn man in

Gl (7) [. patv] = 0 und [pbw] = —1 setzt, und dann die Glei-chungen nach y auflöst. Das heisst nun aber nichts anderes, als

es ist m derjenige Werth, welchen y in Gl (9) annimmt, wenn

[paw] = 0, [j)bw]= — 1 gesetzt wird. Dann wird nach (8):

~ß ( 3 t 1

[p 6 iv. 1] = — 1 also

m

und

rf]

[pbb. 1]= Pu - [pbb. 1]

(14)

Um das Gewicht p x von x zu finden., muss man die ganzeOperation wiederholen, indem man aus den Gl (7) zuerst y eli-minirt.

Mittlerer Fehler einer Beobachtung vom Gewicht 1 und mittlererFehler von y.

Wenn xy die wahren Werthe der Unbekannten wären, sowären die Werthe 5 der Gl (4) die waljren Fehler der an Stelleder Beobachtungsgrössen B tretenden w, und es wäre der mittlereFehler einer Beobachtung vom Gewicht 1 nach Gl (2) §. 7

l*i

= \f Lp 8«]

V m

da aber x y nicht die wahren, sondern nur die wahrscheinlichstenWerthe der Unbekannten sind, so sind auch die 5 der Gl (4) nichtdie wahren, sondern die wahrscheinlichsten Beobachtungsfehler.