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Methode der kleinsten Quadrate.

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Statt dennoch näherungsweise nach obiger Gleichung zu rechnen,tarn man mit Hülfe einer Schlussfolgerung*), -welche der beiGfl (13) §. 6 angewendeten analog ist, die bessere Gleichung auf-steilen :

Mi v o

' m — 2

bei 2 Unbekannten, und allgemein:

Mi

= \f Lp a 8]V ii

llgenny m — n

bei n Unbekannten,

Sodann ist der mittlere Fehler von y

Pu = :

Mi

Lp «a]

(15)

(16)

(17)

Vpu v Pu( m ~ n )

Was die Berechnung von [p S S] oder 12 betrifft, so hat manhiezu folgende Wege:

1) Man substituirt die aus (7) ermittelten wahrscheinlichstenWerthe xy in die Gl (4) oder die Werthe X= X 0 x, Y = Y t yin die Gl (2) und rechnet sodann [p b 5].

2) Man substituirt xy in (6) und hat dann unmittelbar

12 = 6 5],

3) Man wandelt Gl (6) folgendermassen um: *)

12 :

A A

ii r;

1- [p w w . 2]

\paa ] [p b b. 1]w obei A — [p a a] x -t- [ p a 6] y [jp a io]lB' = [pbb.\\y -t- \p b w.Y\ j

lp 66 . 1 ]= [p bbj-^fjpab], [p iow.Y\=[p tvio}

(18)

[pai o]

IpaaJ

Lp aw ]

(19)

b bw. 1 ]= [pi l0 ]—l^3^pcml [pimv. 2] = [p [P bw.l]

^ie theilweise schon in (8) angegeben ist.

Die Bedingung 12 = min hat solche Werthe xy ergeben, fürWelche vermöge (7) und (9) A und B' verschwinden, es ist also12)iii)! = lp b 8] = [p w io. 2] (20)

°der mit Rücksicht auf (19):

r o-T r 1 [pawY [pbw.IV

[p ww . 2] = Lp««] - .. (21)

Bemerkung über die Gewichte. Wenn alle Gewichte gleich sind,

kann man sie gleich 1 annehmen, und dann fallen sie in allenFormeln dieses § fort. Wenn die Gewichte nicht gleich, aber sobeschaffen sind, dass ihre Quadratwurzeln bequeme Zahlen sind, sokann man die Mitführung der Gewichte durch die ganze Rech-nung ersparen, wenn man die Gl (4) mit VPi> VP*> Vps ■ ■ ■ mul-«plicirt.

Bezeichnet man dann

*) Theoria combinatiouiß art 37 n. 38. Encke 1835 S. 318—320.

*) Gauss, Disquieitio de elementis ellipticis Palladis art 13. Encke 1835273—277.