32

Methode der kleinsten Quadrate.

8 12 .

log B = log 762,67 —

Der mittlere Fehler einer Bestimmung von B aus dem gege-benen h mit Hülfe dieser Gleichung ist

mm

/u, = + 0,48

Rechnet man mittelst dieser Gleichung für jede der 9 Statio-nen aus dem gegebenen h das zugehörige B und bildet dieQuadratsumme der Differenzen zwischen diesen B und den beob-achteten, so muss dieselbe = [w w . 2] = 1,628 werden, was inunserem Falle hinreichend stimmt, und die Richtigkeit der gangenRechnung beweist.

Durch Auflösung obiger Gleichung nach h erhält man die Be-ziehung zwischen Meereshöhe h und mittlerem BarometerstandB eines Ortes

7 107101 1 762 ' 67

h = 19091 log — g —

§ 13. Ausgleichung bedingter Beobachtungen.

Es wurden m Grössen unmittelbar beobachtet, zwischen denenn streng zu enfüllende Bedingungsgleichungen bestehen, wobeim)> n; es sollen die wahrscheinlichsten Werthe der m Grössenbestimmt werden. (Die m beobachteten Grössen sind z. B. dieWinkel eines Dreiecksnetzes, und die n Gleichungen die Bezieh-ungen, welche zwischen diesen Winkeln stattfinden.)

Wenn man mit Hülfe der n Bedingungsgleichungen alle WGrossen ausdriicken kann in irgend welchen in — n andern Grössen,so betrachtet man letztere als unabhängige Unbekannte, bestimmtsie aus den vorhandenen m Gleichungen nach § 10 und nachheraus ihnen die m ursprünglichen Unbekannten. Die unabhängigenUnbekannten können alle oder theilweise aus den m beobachtetenGrössen selbst gewählt, oder irgend welche Funktionen derselbensein. — Diese Rechnung ist immer zu empfehlen, wenn die Be-dingungsgleichungen sehr einfach sind (wie z. B. bei Ausgleichungvon Höhenmessungen), und wenn m — n nicht sehr gross ist.

Eine andere Methode, welche bei verhältnissmässig kleinerAnzahl n von Bedingungsgleichungen und complicirter Form der-selben vorzuziehen ist, ist folgende;*)

Die unmittelbar beobachteten Unbekannten seien x 1 x z ... xm>es bestehen zwischen ihnen folgende n lineare Bedingungsglei-chungen ;

a o + a i + a 2 x 2 ... am xm = 0 1

h + *2 -+- & 2 * 2 - . . bm Xm — 0 ) (1)

w o + n i *1 -+- n z x 2 . .. n m xm — 0 I

Setzt man an Stelle der x die Beobachtungswerthe B l B 1 ... Bm>so sind die Gleichungen (1) nicht befriedigt, sondern man erhält:

*) Astr. Nachr. Hro. 121. Encke 1836 S. 212—295.