Methode der kleinsten Quadrate.
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§ 13.
Uf, 4- C, /-, -j- C.
&„ "t - D, 4- b-, B t 4-
4- CTm Bm = IV L4- bm Bm — W z
( 2 )
W 0 4- W t 4- B z 4- . . . tlrn Bm == IVn ]
® s sind daher an den B solche Correktionen 8 t 8 2 ... 6m anzu-pnngen, dass die Widersprüche w verschwinden, was der Fallls t, wenn
ü t 8 t 4- d 2 8 a 4- ... dm bm 4- 'W t = 08 t 4~ b 2 b 2 4- ... bm bm *4" 1V 9 = 0
( 3 )
n t b t 4- tl 2 8 2 4“ ... tim bm 4- Wn — 0
Zur Bestimmung der 8 hat man ausser diesen Gleichungenüoch die Bedingung
[p 8 8] = min
Voraus:
0 = ]> t 8, db 1 4- Pz 8. f/8, 4- . . . 4"^3m 8nt dbm (4)
Wären die Grössen 8 und damit db unabhängig, so könntediese Gleichung nur befriedigt werden dadurch, dass alle Glieder
e inzeln = 0 werden.
Die Grössen d 8 sind jedoch durch die folgenden (aus der Dif-
fßrenziirung der Gleichung (3) entstandenen) Gleichungen ver-bunden:
c?i d ctg d ög -j -
H- dm d bm
b g d Ög H— ög d Ög H-
-+- bm d bm
Mg d 6g -f- M 2 d bi
■+■ M-m d bm — 0
Es wäre somit aus den Gleichungen (5) eine Anzahl n der d 8
di den (m — n ) übrigen auszudrücken, und in Gleichung (4) zu8 übstituiren, welch letztere dann nur befriedigt werden kann,w enn die Coefficienten der noch darin vorkommenden db einzelnr? 0 gesetzt werden. Diese Alles kann dadurch geschehen, dassdie Gleichungen (5) mit zunächst noch unbestimmten Coefficienten
k 2 . kn (den sogenannten Correlaten) multiplicirt, dann
uddirt und von Gleichung (4) subtrahirt werden, wodurch eineGleichung entsteht, welche man sich nach d b l d b 2 .. .d b m ge-ordnet denke. Soll nun eine Anzahl n der letzteren eliminirtWerden, so müssen deren Coefficienten = 0 werden, ebenso aber,Um die rechte Seite der Gleichung (4) auf den Werth 0 zu bringen,a uch die Coefficienten der m—n übrigen. Dadurch, dass man alle® Coefficienten gleich Null setzt, erhält man folgende m Glei-ohungen:
fl. ,
-4- — Tc
ftgH- ^ JCz -h
H- fcg “H
:fc 1+ —*,+
- Jf lU JT-» llf ,,V I
Hieraus könnten die Grössen 8 gefunden werden, wenn die"relaten k bekannt wären; zu deren Bestimmung findet sichnöthige Anzahl von Gleichungen, wenn die aus (6) bestimmtenirthe 8 in Gleichung (3) substituirt werden, wodurch sich ergibt:
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