P,P + d, P + 2d,P + 3d,.P + (n— 1) d;

ober aber er erhöht bett Satz dadurch, baß er bett letzten Einsatz mit einer unb berselben Zahl, tiewir in nennen wollen, multiplicirt, sobaß feie einzelnen Sätze also feie folgenbe Reihe Kilben.

P, Pin, Pm 2 , Pm 3 , Pm 4 ,.Pnt n_1 .

In beiben Reihen, sowol in ber bnrch Addition als in ber bnrch Multiplikation entstanbenen,ist die Anzahl (n) ber ©lieber unbestimmt gelassen warben, n kann jebctt möglichen Werthannehmen. Der erstere Fall ist ber einfachere unb wir wenben uns ihm zunächst zu.

Nach einem bekannten Satze ber Analysis ist feie Stimme von n Einsätzen

p + (P + d) + (P -[- 2d) + (P -f 3d) . . . + P + (n— I) d = nP + nd •ober, wenn wir feie ©lieber auf gemeinschaftliche Benennung bringen, — ^ [2P + (n—1)

Nehmen wir an, der Spieler gewinnt einmal, nachbem er vorher wieberholt verloren hahso wirb n einen bestimmten Werth erhalten — ber Anzahl ber geleisteten Einsätze. Der ausbett letzten (nten) Einsatz gemachte Gewinn ist gleich biesem Einsätze, multiplicirt mit einem vo»ber Lottokasse festgesetzten Werthe, den wir in ber ersten ber obigen zwei Tabellen für verschiebenLänber unb für verschiebene Arten bes Einsatzes angegeben haben unb welchen wir hier allgei»e>Nmit Q bezeichnen wollen.

Es wirb also ber ute Einsatz — P -f- (n—l)d unb ber barauffallenbe Gewinn, bnrch welchenber Spieler feie Summe aller frühern Einsätze wieber mit zurückerhalten soll, — fP-f- (n—1)“]”'

Hier entsteht nun feie Frage: für welche Anzahl von Sätzen, für welches it also wirb dienGewinn ber Summe jener Einlagen gleich sein; für welches n wirb ber Gewinn größer als btEinlagen, ber Spieler also im Vortheil sein; für welches n aber wirb ber Gewinn sich kleiü?als feie Einlagen herausstellen, ber Spieler also in Nachtheil gerathen?

Setzen wir

[P + (n—1) d] Q = j [2P + (n 1) d],so erhalten wir bnrch Umwanblung

[P + (n—1) d] 2Q = nP + [P + (n—1) d]

2Q =

nP

p _f_ (n—l)dnP

+

[P + (n 1) d] np + (n_i) d '

ober

•P +-(n-2Q — n

-l)d

+ n.

l)'

' P + (u-1) djAus ber Betrachtung bieser Gleichung geht Folgenbes hervor: Da P

sowol als n ttttb 1P

positive Größen sinb unb P -f- fn—1) d baher größer als P ist, so wirb ber Bruch p

immer ein echter, also kleiner als 1 sein, ober es wirb 2u stets größer als 2Q werben, b. l>-,lange u kleiner ist als (j, wirb ber Spieler, man mag P unb d wählen, wie man will,im Gewinne bleiben.

Je kleiner man aber P annimmt, um so mehr wächst im Verhältniß ber Nenner, n mkleiner wirb baher ber Bruch unb für P = 0 verschwinbet er ganz; es würbe also für ben Fast, ^ 'ber erste Einsatz 0 wäre, n ben Sßkrtt) von 2Q annehmen. Da bieser Fall aber undenkbar n'indem es sich dann nicht um rt, sondern nur um n—1 Ziehungen ober Einsätze handeln wü^^so nehmen wir als den einfachsten unb instructivsten benjenigen, wo der Spieler mit dem erst^Einsätze 1 beginnt und bei jeder neuen Ziehung den frühern Einsatz um 1 vermehrt, also st> *Einsätze durch die natürliche Zahlenreihe 1, 2, 3, 4 . . . . repräsentirt werden.

Es ist für P = 1 und d = 1