DU TROISIÈME LIVRE.
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coupant l’hyperbole en M et O, m et o , le rectangle LM par MN, ou LOpar ON, sera égal à Im par m n , ou lo par on , et chacun d’eux sera égalau carré de la moitié de la tangente parallèle A v. Car cette tangente n’estque la dernière des sécantes.
18 0 . II suit donc de cette propriété et de la précédente, que, quelque partqu’on tire , entre les lignes décrites dans la définition VI , une ligne coupantl’hyperbole, ainsi qu’eiles, l’intervalle LM ou ON ne sauroit être zéro, puis-que LM par M N , ou LO par ON, sera toujours égal au carré de la moitiéde la tangente a v. Ainsi ces lignes ne rencontreront jamais l’hyperbole. Elles ena pprochercrt aussi de plus près qu’aucune quantité donnée ; car O N peut devenirmoindre qu’aucune quantité donnée, puisque LO peut devenir plus grandequ’aucune qjanyté.
19°. Les parallélogrammes ( fig. 3 q ) formés dans l’angle asymptotique FCE,ayant l’angle commun C, et l’angle opposé dans l'hyperbole, comme CFGE,Cfgc, C <p 9e , etc., sont toujours égaux enti’eux. Ainsi l’on a toujours leshauteurs de ces parallélogrammes réciproques avec leurs longueurs.
20°. Tout le tnondesait que dans le cercle (fig. 35), si on tire du point Aune tangente A T, et une sécante AF F., le carré de A T est égal au rectanglede A F par A E.
Il en est de même à certains égards dans les sections coniques, c’est-à-dire,'que si la courbe est par exemple une ellipse ( Jig. 36), le carré de la tangenteAT sera au rectangle A F par AE, comme le carré du diamètre M ni parallèleà la tangente, au carré du diamètre N n parallèle à la sécante.
Ainsi tirant plusieurs sécantes, les rectangles de leurs segujens seront commeles carrés des diamètres qui leur sont parallèle). Si tous ces rectangles sont égauxdans le cercle , c’est que tous ses diamètres sont égaux.
Tout cela s’applique encore, mutatis mu tandis , à la parabole et à l’hy-perbole.
21 e . Dans le cercle, les rectangles des portions de deux lignes qui s’y entre-coupent sont égaux. Dans l’ellipse, ils sont comme les carrés des diamètres paral-lèles à ces lignes. Apollonius entre sur cela dans de très-grands détails, dansun de ses livres.
Telles sort les principales propriétés des sections coniques, qu’on peut légiti-mement penser avoir été connues aux élèves de Platon , ou aux géomètres quiles suivirent de plus près jusqu’à Apollonius. Nous eussions même pu enajouter plusieurs autres analogues, ou qui en découlent évidemment. Mais envoilà assez, et peut-être trop sur ce sujet.
Fin-des Notes du Livre troisième .
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Cp
Tome 7.