îoB HISTOIRE

parmi les analystes , consiste à avoir remarqué que toutes leséquations d’ordres supérieurs sont des produits d’équationssimples. Cela se montre de cette manière. Qu’on prenne tantqu’on voudra d’équations simples , telles que x±a = o ;xûib — o ; x±c = o , et avec telle combinaison de signesqu’on voudra, par exemple, celle-ci, x-\-ax=.o ; x — 6 = o;x-\- c = o ; qu’on les multiplie ensemble , il en naîtra un produitqui sera dans le cas présent x 3 -\- ( a—b -J- c) x *— ( ab-\-bc—ac )x — abc=o : ce qui est une équation du troisième degré ,parce que nous avons eu trois facteurs. Or il est facile de seconvaincre par l’expérience que , si dans cette expression aulieu de x et de ses puissances, on substitue — a, ou b , ou — celle deviendra toute égale à o. Donc il est évident que x a troisvaleurs , puisque chacune d’elles satisfait aux conditions del’expression. La même chose paroîtra encore plus clairementen se servant d’exemples numériques. Prenons x — 1 = o ;m -j- 9 = o ; x — 7 = 0 : le produit est x 3 -f- x* — 65 x -}- 63 = o ,ou x 3 -\-x 2 — 65 x = — 63 . Si dans cette expression on fait xégal à i , ou à — 9 , ou à 7 , l’équation se vérifiera ; car onaura dans le premier cas 1 + 1 — 65 -f 63 , ce qui est effecti-vement égal à zéro. Dans le second ce sera -779-|-81-f 585

-f 63 = o , ce qui est encore vrai. Il en sera de même dans letroisième cas , comme il' est facile de le vérifier.

De cette génération des équations découle une foule de vé-rités intéressantes dans l’analyse. La première est que danstoute équation il y a autant de valeurs , que le degré qui ladénomme a d’unités. Une du second degré en aura deux , unedu troisième , trois , &c. ; vérité qui se démontre aussi direc-tement et rigoureusement , quoique nous venions de la démon-trer seulement par induction. Quand nous disons des valeurs,nous entendons dire soit réelles , c’est-à-dire positives ou né-gatives , soit imaginaires. Rien n’empêche qu’il n’y en ait danstoute équation plusieurs de cette dernière espèce ; car uneéquation du second degré peut en contenir deux. Telle est,par exemple , celle - ci , x~ — zx 4- 9 , où a: est égale à 1 +

ou —T/ — 8. Mais il peut y avoir une équation formée de laprécédente, multipliée par une autre équation simple : celle-ci,par exemple , x 3 -|- zx 1 —- 07 - 1-45 = 0, vient de l’équation ci-dessus multipliée par .r-f-6 = o. Elle aura donc deux valeurs

imaginaires, savoir 1 -f- f /— 8 , et 1—|/—8, et une réelle — 5 .Cette considération nous conduit en même temps à une re-marque utile concernant les racines imaginaires ; savoir qu’ellesmarchent toujours en nombre pair; car elles doivent toujoursêtre accouplées de sorte que leur produit forme une expression