DES MATHÉMATIQUES. Part. IV. Liv. II. 109où il n’entre rien d’imaginaire , et cela ne pourra arriver quelorsque deux à deux elles formeront une équation réelle dusecond degré. Ainsi une équation d’un degré pair quelconque,ou un problème qui y conduiroit, pourroit être impossible, n’yayant dans cette équation que des racines imaginaires ; maistoute équation de degré impair , comme celles du troisième ,du cinquième , &c. aura du moins une solution.

Reprenons maintenant la forme d’équations où les racines del’inconnue sont exprimées par des lettres , car elle nous serabien plus commode pour reconnoître la composition de chaqueterme , les traces des opérations ne s’y effaçant point commedans la forme numérique. Supposons donc une équation duquatrième degré, formée de ces quatre, x — a — o ; x — b — o;x — c=o ; x-{-d=o : leur produit est l’équation x 4 —(«-fÆ

c — d ) x 3 + ( ac + ab -f- cb — ad — cb — bd ) x 2 — ( abc — acd— abd — cbd'j x — abcd= o. Les racines de cette équationsont a , b, c , —d : or la seule inspection nous montre que lecoefficient du second terme est la somme de toutes les racinesmises avec des signes contraires, c’est-à-dire avec le signe —,si elles sont positives , et avec celui de -f- , si elles sont né-gatives. Celui du troisième est la somme des produits des mêmesracines , faits en les multipliant deux à deux ; celui du qua-trième est celle des produits de ces racines prises trois à trois,et affectés de signes contraires ; celui du quatrième , celle desracines prises quatre à quatre , &c. ; enfin celui du dernier , leproduit de toutes les racines, pris avec son signe si le rang dece terme est impair, ou avec le signe contraire, s’il est pair.

Ce qu’on vient de dire sur la formation des équations conduità une méthode pour résoudre non-seulement celles du troisièmedegré , mais celles des degrés quelconques au-dessus. Car, puisquela quantité connue est le produit de toutes les racines de l'équa-tion , si ces racines sont rationnelles et entières, elles serontnécessairement quelques-uns des diviseurs de ce dernier ternie.Il faudra donc essayer quel d’entre eux mis à la place de l’in-connue positivement ou négativement, rendra l’équation égaleà zéro. Si cela réussit, ce sera une des valeurs de l’inconnue.Donnons-en un exemple : que l’équation proposée soit x'> —17x 2 + 79 x — 63 = o» Les diviseurs de 63 sont 1, 3 ,7, 9,21 , 63 ;par conséquent si une des racines de l’équation est un nombreentier, ce doit être un d’eux. En effet si au lieu de x on metdans cette expression 1 , ou 7 , ou 9 , tous les termes se dé-truiront. Les valeurs de l’inconnue seront donc 1 , ou 7 , ou 9,et l’équation sera divisible par x — i,our — 7 , on ï— 9. Demême dans l’équation x 3 — 3 .ix —40 = 0 : les diviseurs de 45sont 1, 3 , 5 , 9, i 5 , 45 ; en les essayant les uns après les