DES MATHÉMATIQUES. P>ht. IV. Liv. II. i3ide la perpendiculaire qu’on lui tireroit d’un point quelconquepris sur l’axe.

Four cet effet Descartes recherche d’une manière généralequels seroient les points d’intersection d’un cercle décrit d’unrayon déterminé , et d’un point de l’axe comme centre, avecla courbe. Il parvient à une équation qui dans le cas de deuxintersections doit contenir deux racines inégales , dont l’uneest la distance d’une des ordonnées au sommet, et l’autre celle del’autre. Mais si ces points d’intersection viennent à se confondre,alors les deux ordonnées se confondront, leur éloignement dusommet sera le même , et l’équation aura deux racines égales.II faudra donc dans cette équation faire les coefïiciens del’inconnue qui sont indéterminés, tels que cette inconnue aitdeux valeurs égales. Descartes y parvient d’une manière fortingénieuse, en comparant l’équation proposée avec une autreéquation fictice du même degré, où il y a deux valeurs égales ;ce qui lui donne la distance de l’ordonnée abaissée du pointde contact, au sommet. Cela une fois déterminé , la plus simpleanalyse met en possession de tout le reste. Nous avons crucependant devoir donner une idée plus développée de cetteanalyse : c’est l’objet de la note B.

La seconde méthode imaginée par notre philosophe pourtirer les tangentes, procède ainsi. Il conçoit une ligne droitequi tourne autour d’un centre sur l’axe prolongé de la courbe.Élle la coupe d’abord en un certain nombre de points ; maisà mesure qu’elle s’éloigne ou se rapproche de l’axe, suivantles circonstances, les deux points d’intersection se rapprochentet coïncident : enfin elle touche la courbe proposée. Pourdéterminer la situation qu’a alors cette ligne , M. Descartesprocède à peu près comme dans la méthode précédente. IIrecherche d'abord l’équation générale, par laquelle cette ligneétant inclinée sous un angle donné , on trouverait ses pointsd’intersection avec la courbe. Ensuite par le moyen d’uneéquation lictice qui a deux racines égales , il détermine cetteinclinaison à être celle qu’il faut pour que la ligne soit tangente.Enfin il tire de là le rapport de la soutangente à l’abscisse.

Nous avons parlé au commencement de cet article de di-verses déterminations importantes dans la théorie des courbes,et qui tiennent à la méthode des tangentes. Quoique Descartesn’en ait point traité, ce serait mal le connoître que de penserqu’il les ait ignorées : il est fort probable que ce sont là de ceschoses qu’il tnt à la fin de sa Géométrie avoir voulu laisser à seslecteurs le plaisir de trouver eux-mêmes. Mais nous ne croyonspas devoir l’imiter ici : il entre nécessairement dans notre pland’en donner une idée.

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