DU TROISIÈME LIVRE. 218

Je viens maintenant à la démonstration tirée du calcul analytique. Pour ceteftet , soit s l’espace parcouru d’un mouvement accéléré , et ds l’élément de cetespace, qui peut être conçu comme parcouru d’un mouvement uniforme ; soit~ u la vitesse qui répond à l’espace s, et qui selon cette hypothèse lui estproportionnelle ; que t représente le temps employé à parcourir s, et consé-quemment dt le tempuscule employé à parcourir d s t maintenant on sait quel’espace parcouru par un corps mu uniformément est en raison composé du tempset de la vitesse avec laquelle cet espace est parcouru ; ainsi , on aura le petitespace ds , en raison de dt et de u , ou = udt , ou d t — — ; et comme u estproportionnel à s , on aura dt=iy, ou t-Sy-, mais S y est le logarithmede s , lequel , par la propriété de l’hyperbole ou des logarithmes , est infiniquand s est zéro. Ainsi , en supposant s o , ou le corps au commencementde sa chute, il lui faudra un temps infiniment long pour en parcourir le premierélément, c’est-à-dire, que le mouvement du corps sera impossible.

L’on trouve en eftet par un autre raisonnement que le corps , au Commen-cement de sa chute, seroit sans force accélératrice pour tomber , ou n’auroitaucune pesanteur. Car en conservant les dénominations ci-dessus, soit G, cetteforce accélératrice dans les divers points de la chute du corps, il est évident quel’accroissement de la vitesse produite dans le corps mu par l’action d’une forceest en raison de l'intensité de cette force , et du temps pendant lequel elle agit ;ainsi, l’on aura Gdr —du. Or on a trouvé plus haut d t — ~ , ou y , puisqueu est proportionnel à s ; d’où il suit, qu’en mettant au lieu de dt sa valeuron aura ^dL' — du, ou G = ^; mais ^ représente la sous-normale de lacourbe dont s est l’abscisse, et u l’ordonnée ; courbe qui, dans le cas de l’hy-pothèse que nous examinons, n’est autre qu’une ligne droite, puisque u est pro-portionnelle à s j et dans une pareille courbe , la sous - normale est zéro , ausommet , ou lorsque s o : la force accélératrice G , ou la pesanteur seroitdonc o au commencement de la chute ; c'eit-à-dire, cette chute seroit impossible.

II nous reste à examiner l’hypothèse véritable de Baliani, celle où l’on supposeque l’espace parcouru dans le premier instant de la chute étant i, celui qui seraparcouru dans le second instant sera i ; celui qui répondra au troùièmc instant,3 , &c. et ainsi de suite. On trouve dans cette hypothèse que les espaces parcourusaprès un premier instant, après 2 , après 3 , &c., sont comme 1. 3. 6. 10. &c. ,c’est-à dire comme les nombres triangulaires répondans au nombre des instarsécoulés, au lieu que dans 1 hypothèse de Galilée, qui est la vraie, ces espaces«ont comme les quarrés des nombres 1. 2. 3. 4. &c. ou x. 4. 9. 16. 25. &c.Soit donc (fig- 70 ) la courbe I RS , dont l’axe est A Q, sur lequel les abscissesAP — t représentent les temps et les ordonnées PR:=u, les vitesses acquises,l’aire A P R représentera l’espace parcouru depuis le commencement de la chute ;or cet espace est comme le nombre triangulaire correspondant à l’abscisse A Peu t, et ce nombre triangulaire est représenté par en prenant a pour une

quantité arbitraire et constante ; d’un autre côté, l’aire APQ est = S u d t ; on auradonc Sudt~‘-d±—, ou udt=*—y—,ce qui donne Ainsi, en sup-

posant t — o ou au commencement de la chute , le corps aura déjà acquis unevitesse représentée par un ÿu, ce qui est faux, et même absurde ; car il est aiséde démontrer, par la nature de l’accélération , que cette vitesse est au commen-cement de la chute moindre que toute vitesse donnée. L’hypothèse véritable deBaliani n’est donc, quoiqu’en ayent pu dire ses apologistes, guères moins contraireà la vérité et à la nature , que celle qu’on lui attribue vulgairement.

J’ai dit qu’on peut facilement démontrer que la vitesse d’un corps au com-fnencement de sa chute est moindre que toute vitesse donnée ; car supposons qu’à

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