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tire même une solution arithmétique assez praticable. Le P. Vincent Riccati ,jésuite, en a donné deux dans ses Opuscula (i); l’une emploie la cycloïde elle-même , et l’autre la courbe appellée la compagne de la cycloïde , ou la courbedes sinus. Elles sont toutes deux fort élégantes ; et ce géomètre déduit de ladernière une expression approximative d’une pratique assez facile.

En général néanmoins ces solutions ont paru plus curieuses dans la théorie,qu’utiles à la pratique de l’astronomie. C'est pour cela que Neuton dans l’en-droit cité de ses Principes , fait suivre la solution de Wren d’une autre déduitede l’analyse , et qui consiste en une suite d’arcs ou d’angles décroissans , quisont la correction à faire à l’anomalie moyenne, pour avoir la vraie.

Cette solution a cependant paru et est en eflet assez compliquée pour avoirengagé les docteurs Keil et Grégori a en proposer chacun une autre ; le pre-mier , dans ses Prdcctiones Astronomicœ, et le dernier dans ses Astronomie ; hys.et geom. Elementd. En voici l’esprit.

Le problème se réduit, comme on l’a vu plus haut, à retrancher d’un cercleun espace ASD égal à un secteur dohné du même cercle par une ligne droitetirée du point S autre que le centre. Or , en employant les calculs modernes ,on trouve une série qui exprime la valeur du secteur formé au point S, et quirépond à l’indéterminé D E. On égale cette suite à l’espace donné , et par laméthode du retour des suites on trouve la valeur de D E exprimée par un*nouvelle série qui est assez convergente quand l’excentricité est fort petite, ensorte que peu de termes donnent la valeur de DE assez exactement pour lesbesoins du calcul astronomique. Or , ayant la valeur de D E , qui est le sinusde l’arc AD, celle du cosinus CE sera conséquemment connue ; et étantajoutée à la demi-excentricité SC, donnera S E. On aura donc l’angle DSE;et cet angle étant connu, l’angle T S E est facile à trouver, puisque DE est àTE dans la raison connue de BC à FC. Cette solution , au reste n’a pas étéinconnue à Neuton ; car on la lit dans le Commercium Epistolicum de analysépromot a.

M ais les géomètres et astronomes qui tendent toujours à la perfection n’ontpas encore trouvé que cette solution ne laissât rien à désirer ; et en effet ,lorsque l’excentricité est un peu grande , comme dans l’orbite de Mercure, oùelle excède un cinquième du grand axe , l’emploi de la série en question estpénible , d’autant plus que la loi de ses termes est compliquée et peu appa-rente , comme il arrive d’ordinaire dans le retour des suites. Ainsi , d’un côtéles astronomes ont cherché des approximations purement trigonométriques , etles géomètres d’autres solutions analytiques plus simples.

Four commencer à parler de ces derniers , nous citerons d’abord un savantécrit de M. Machin , inséré dans les Trans. philosoph. de 1738 , où il donnepour cet effet des séries extrêmement convergentes , d’où il dérive une solutiontrès-simple et très expéditive. M. Jeaurat a aussi donné , dans les Mémoires pré-sentés à l'académie par divers savans , t. IV , une solution fondée sur le calculanalytique des Sinus, et dans laquelle la correction à faire à l’anomalie moyenneest exprimée par des Sinus d’angles donnés , et de leurs multiples , multipliéspar des coéfficiens déterminés. Il en fait voir l’usage par l’application à descas les plus défavorables du calcul. Il y donne aussi par de semblables sériesla longueur du rayon vecteur de la planète, qui est d’un usage si fréquent dansle calcul astronomique.

Le citoyen La Grange , enfin , a traité ce problème dans les Mémoiresde l'académie de Berlin {ann . 1769 ) , en y faisant usage de son beau théorème,

(1) Opusculum VU.