DU CINQUIÈME LIVRE. 345
au moyen duquel étant donnée une expression telle, que ( où q> x
est une fonction quelconque de x ) , on peut trouver la valeur d'une autrefonction quelconque de x comme f x en une série simple et régulière , sansavoir besoin de recourir à l’élimination ; ce qui est dans bien des cas commecelui-ci, ou impossible, ou extrêmement laborieux ; cet excellent théorème seradéveloppé quelque part. D’après cette méthode , le citoyen La Grange adonné , dans le mémoire cité , la valeur , soit de l’anomalie de l’excentre ( d’oùse tire facilement l’anomalie vraie ) , en une série régulière formée de l’anomaliemoyenne et d’une suite d’angles rapidement décroissans. Il y fait voir aussi lamanière de tirer directement, par une pareille série , l’anomalie vraie de l’ano-malie moyenne , ou le rayon vecteur de la planète , ou enfin le logarithme del’un et de l’autre. Ainsi, par exemple, nommant n la demi - excentricité del’orbite (ou la demi-distance du foyer au centre, exprimée en parties du demi-grandaxe supposé l’unité ) ; t , l’anomalie moyenne x, l’anomalie de l’excentre , onaura xr=:àcette sérié t — m A sin. i -f- 2n 2 B sin. it — 2 n J C sin. 3 1, &c. , oùla loi de la progre-sion est évidemment apparente. Il est vrai que dans cettesérie les coéfHciens A , B , C , D , Sic. sont un peu compliqués et donnés eux-mêmes par des séries. Mais comme ces séries sont formées de puissances del’excentricité qui est constante pour chaque orbite et toujours une fraction assezpetite de l’unité , il suffit que ces coéfficiens soient une fois calculés pourchacune ; et l’on aura une série suffisamment convergente pour le besoin. Ilfaut remarquer ici que dans ce calcul l’excentricité doit être réduite en minuteset secondes, d’après cette proportion. Comme la distance moyenne est à l’excen-tricité , ainsi le nombre des secondes contenues dans le rayon qui est 206264,à celui de l’excentricité.
On tiouve aussi une solution de ce genre, qui est du citoyen Bossut, dansle volume des prix de l’académie, de 1766, ainsi qu’une de M. Klugel , pro-fesseur de mathématiques à Helmstadt ; dans 1 ' Astronomisches Yahr-Buch , oul’Annuaire astronomique de Berlin , pour l’année 1789.
Voici maintenant les principales solutions du troisième genre. El'es sont laplupart fondées, ou sur une règle de fausse position plus ou moins abrégée,ou sur ce qu’un arc circulaire fort petit peut être regardé comme une lignedroite partie de sa tangente. Telles sont les solutions de M. Horrebow et deM. Cassini ; la première insérée dans les Actes de Leipsik ( suppl. du tom. VI),et la seconde dans les Mémoires de l’academie des sciences , de 1729- M. ThomasSimpson en a donné plusieurs de cette nature et de la précédente dans unde ses ouvrages ( t ) , et il en déduit des règles de pratique fort commodes.L’abbé de Lacaille s’est proposé le même objet dans un mémoire donné àl’académie des sciences, en 1750. La démonstration que cet astronome avoitsupprimée a été donnée par Lilande , dans les mémoires de 1755. On trouveaussi cette méthode et sa comparaison avec celle de Ivl. Simpson dans le secondvolume des Tables de Halley , publié par cet astronome en 1759.
Pour ne rien omettre enfin de ce qui est venu à ma connoissance sur cesujet , je citerai une solution du même genre, très-bonne et très-adaptée aucalcul, donnée par M. Lorgna , célèbre géomètre Italien, et professeur demathématiques à Vérone ; elle fait partie de quelques opuscules qu’il publiaen 1770 (2).
M. Trembley , dont nous avons un excellent ouvrage intitulé ; Essai deTrigonométrie sphérique {Neuchâtel, 1783 , in- 8 Ç . ) , a donné une solutionde ce problème adaptée aux calculs astronomiques , et d’un usage facile.
( 1 ) Essaye on several curions and useful ( î ) Opuscula math, et phys. auth. A. M .subjccts , Oc. Loni. 1740 , 1/1-4°. Lorgna , Oc. Vcronx, 1770, in- 4?.
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