35 o HISTOIRE

seront en progression arithmétique. Ceux des premières étantdonc 3,2, 1 , o , il faut que ceux des suivantes soient— 1 , —2, —3 , &c. Ainsi i n’est autre chose que x —

et d; est x Cette remarque heureuse mit Wallis en posses-sion de la mesure de tous les espaces, soit pilans, soit solides,dont les élémens sont réciproquement comme quelque puis-sance de l’abscisse ; dans l’hyperbole ordinaiire , par exemple ,l’ordonnée est réciproquement comme l’abscisse , et dans cellesdes ordres supérieurs , elle est réciproquement comme unepuissance de cette abscisse, c’est-à-dire , que l’équation detoutes ces courbes est j/ —-h, ou j = —x— m . Or on a vu que

dans les courbes dont l’équation est y — x m , le rapport généralde l’aire au parallélogramme de même base et de même hauteur,est î : m -f- î ; et cela est vrai,quelle que soit la grandeur de m.Cela sera donc encore vrai , suivant les lois de l’analyse etde la continuité , même lorsque m deviendra négatif ou — m.Ainsi le rapport ci dessus sera dans ce cas celui de î : — m- 1-1 ,ou en général de î à m + î , en prenant m avec le signe quil'affecte. Dans l’hyperbole où les ordonnées sont réciproque-ment comme les racines de l’abscisse, m est , et par consé-quent — m ~=— Ainsi l’espace hyperbolique AH {Jig* 92),est au rectangle CE, comme 1 à—1 , ou 1 à Si m — \ ,ce qui est le cas de l’hyperbole ordinaire } ce rapport est

1 :-1 -f 1 , ou 1 : o ; ce qui montre que l’hyperbole ordinaire

a son espace asymptotique infini.

Il se présente ici une difficulté dont Wallis , malgré sa saga-cité , n’apperçut pas le dénouement. Lorsque l’exposant néga-tif m, est un nombre entier 3 , par exemple, qui surpasse l’unité ,le rapport ci-dessus est 1 : — 2 ; c’est-à-dire , celui de l’unité àun nombre négatif. Or on sait, et il est facile de montrer que1:0, exprime un rapport infini : que désignera donc cette autreexpression, peut-on se demander ? Wallis imagina qu'elle dési-gnoit un espace plus qu’infini ; paradoxe singulier , dont on doitla solution à M. Varignon. Ce que Wallis a pris pour un espaceplus qu’infini, n’est qu’un espace fini pris négativement ou ensens contraire. Il arrive dans ce cas , ce dont l’analyse fournitdes exemples fréquens. On trouve la grandeur, non de l’espaceCABGHC qu’on demandoit, mais celle du reste de l’espacehyperbolique CK.IBL qu’on ne demandoit pas. 11 est facile des’en convaincre ; car en cherchant la mesure de cette partieCLBIK , par son équation rapportée à l’axe CL, on trouve lamême chose que ci-devant, mais d’une manière positive. Nousremarquons à cette occasion une propriété de toutes les hyper-