DES MATHÉMATIQUES. Part. IV. Liv. VI. 35 7du centre égale à BC, ou l’unité , de sorte que BD i'ût = .r,l’ordonnée étoit ; mais cette expression ne tomboit pointsous ses règles , et il avoit tenté en vain de l’y soumettre.

Ce fut Mercator qui en vint à bout. Il eut l’idée heureuse,et néanmoins fort simple , de diviser , par la méthode usitée ,1 par i -f x , et il trouva , au lieu d’un quotient fini , cetteSuite infinie 1- xx 1 —xi + x*, &c. La vérité de cette ex-

pression, et son identité avec la première, est facile à montrerlorsque x est moindre que l’unité : car alors la Suite dont nousparlons est la différence des deux progressions géométriquesdécroissantes 1 + x 11 + x 4 + x 6 , &c. et x + x } + x' + x 7 , &c. quisommées par la méthode connue , et soustraites l’une de l’autre,

donnent précisément yd_. La Suite x -y + y — y , &c. sera

donc égale , comme on l’a vu plus haut, à l’aire hyperboliqueentre les asymptotes , répondante à l’abscisse x. Que si l’onsuppose au contraire x négatif, c’est-à-dire , pris de B en d,

la Suite précédente sera + *— + x —, &c. Mercator publia

sa découverte dans sa ho^arithmotechnia , qui parut vers lafin de 1668. Il donna ce titre à son ouvrage , parce qu’il yapplique principalement sa Suite à la construction des logarithmesqui dépendent, comme on l’a dit tant, de fois, de la quadraturede l’aire hyperbolique entre les asymptotes.

L’invention de Mercator fournit en effet un moyen commodede calculer les aires hyperboliques , tant que x est moindre quel’unité. Car supposons que x soit | , alors la Suite en question

se transforme en celle-ci 4----1- ' - 1 — , &c. dont les

termes décroissent rapidement , de telle sorte qu’ils arriverontbientôt à un degré de petitesse qui les rendra de nulle consi-dération. 11 suffira donc d’en additionner un certain nombre ,ce que l’on fera commodément , par le moyen des fractionsdécimales dont nous supposons la doctrine connue au lecteur.Ainsi l’on trouvera par la Suite ci-dessus que le logarithmehyperbolique de |, est 0.182321 5 . On trouvera de même ceuxde tous les nombres pareils qui excèdent peu l’unité , et parleur combinaison mutuelle on tirera ceux de la plupart desnombres entiers. Car, par exemple, ayant le logarithme de f,et celui de y, on aura celui de 2, en ajoutant à celui de | ledouble de celui de ~, ou celui de^. Car |-x- : y = 2. Maintenantayant le logarithme de 2 , et celui de y , on aura facilementcelui de 10 ; car ~x b, ou ~X 2 3 = 10 : ainsi il faudra au lo-garithme dey, ajouter le triple de celui de 2. Avec le logarithmede y , et celui de ou le double de celui de - , on aura celuide à , car y x y = 3 . Ln ajoutant ceux de 10 et de y, on a celui