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sont d’une extrême facilité dès qu’on a bien cionçu les prin-cipes de ce calcul. Nous ferons seulement une observation im-portante sur ce sujet, après avoir parlé de points d’inflexion.

On a suffisamment expliqué dans le livre second la naturedes points d’inflexion ; ce qui les caractérise , c’est que la courbey est à la fois touchée et coupée par une ligne droite ; et quecette ligne fait avec l’axe le plus grand ou le moindre angle qu’ellepuisse faire. On conclut delà , en employant 3e principe desfluxions , que dans un point de cette nature , la seconde fluxionde l’ordonnée , ou ÿ est égale à zéro. En effet, puisqu’alors lerapport de l’ordonnée à la soutàngente est un maximum on unminimum , et que ce rapport est le même que celui de y à E ,

il s’ensuit que v est un maximum ou un minimum. Consé-quemment y est égal à zéro , en supposant x invariable. Onle démontre encore de cette manière. Lorsqu’une courbe deconvexe vers un certain côté devient concave , elle perd de plusen plus sa courbure , et dans le passage du convexe au con-cave , elle est une ligne droite , coincidente dans un espace infi-niment petit avec la tangente. Elle participe donc dans cet en-droit de la nature de la ligne droite ; or dans une ligne droite in-clinée à un axe , les secondes fluxions sont nulles ; ainsi cela doitarriver au point d’inflexion. Il faudra donc prendre la secondefluxion de la valeur de l’ordonnée ; en faisant x constante , ilen résultera une expression toute affectée de x 1 , qu’on égaleraà zéro. Les E 1 , comme multiplicateur commun seront supprimés ,et il ne restera qu’une expression en termes finis.

L’observation que nous avons promise plus haut est celle-ci :il ne suffit pas , pour avoir un maximum ou un minimum , quela première fluxion y de l’ordonnée soit zéro -, il faut que la se-conde ne le soit pas dans ce point. Car si cela arrivoit , ce pointauroit à la vérité sa tangente parallèle à l’axe , mais ce seroit enmême temps un point d'inflexion , et la courbe continuerait às’éloigner ou à s’approcher de cet axe.

Nous pourrions développer ici de même la manière dont lecalcul des fluxions s’applique à la théorie des développées ; maiscomme nous ne le saurions faire sans entrer dans des détailstrop peu convenables à la nature de cet ouvrage , nous préféronsde passer à donner une idée de l’usage de ce calcul pour lamesure des aires des courbes , pour leur rectification et la dimen-sion des solides curvilignes.

En examinant la nature des fluxions, nous avons jetté lesfondemens de ce que nous avons à dire ici ; car nous avonsmontré que la fluxion d’une aire est le produit de l’ordonnéepar la fluxion de l’abscisse, c’est-à-dire, qu’elle est v x. Or l’é-