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une épicycloïde produite par la révolution d’un cercle sur un

autre (1).

Les géomètres contemporains de Tschirnhausen ont beau-coup enchéri sur sa théorie. Elle sortoit à peine de ses mains ,qu’ils l’étendirent , soit en ne se bornant [dus aux rayons in-cidens parallèles , mais en les supposant eonvergens ou diver-gens à volonté , soit en appliquant à la réfraction ce queTschirnhausen avoit seulement remarqué dans la réflection ,soit enfin en examinant les caustiques des courbes mécaniques,auxquelles Tschirnhausen , dédaignant l’usage du calcul diffé-rentiel , ne pouvoit appliquer le sien. On doit les principauxtraits de toute cette théorie aux deux illustres frères Jacqueset Jean Bernoulli. Le premier donna en 1691, dans les Actesde Leipsick , des choses très - curieuses sur ce sujet (2) ; il yfit entr’autres la remarque que la caustique de la spirale loga-rithmique , le point lumineux étant au centre, étoit une spiraleégale. Pendant le même temps , M. Jean Bernoulli , qui étoitalors à Paris , donnoit dans ses Lectiones calculi integralis ,des formules déduites du calcul différentiel , pour déterminerles caustiques de toutes les espèces. Nous supprimons avecregret quantité de choses curieuses que nous aurions à dire ,si nous pouvions nous étendre à notre gré. Nous renvoyons auxécrits des géomètres qui ont traité cette théorie, entr’autres auxLeçons de calcul intégral , de M. Bernoulli, ou au Traité desinfiniment petits , de M. le marquis de l’Hôpital. On peut aussiconsulter un mémoire qu’on lit parmi ceux de l’académie , del’anné 170.3. C’est une espèce de traité sur cette matière , oùl’on trouve rassemblé avec beaucoup de précision tout ce qu’elleoffre de plus intéressant ; il est de M. de La-Hire.

La génération des épicycloïdes sera facile à entendre pourceux à qui la cycloïde est connue ; car elle n’est que celle decette courbe célèbre, un peu généralisée. La cycloïde s’engendrelorsqu’on fait rouler un cercle sur une ligne droite. Les épicy-cloïdes sont formées de la même manière , à cela près que labase , au lieu d’être une ligne droite, est une autre circonférencecirculaire. '

On fait honneur de l’invention des épicycloïdes à M. Roemer,célèbre astronome danois , qui les imagina durant son séjourà Paris , vers l’année 1674. Ce ne fut point entre ses mainsune pure spéculation géométrique. Ces courbes lui parurent êtrecelles dont la forme convenoit aux dents des roues pour diminuer

(1) Hist. de I’acad. avant le renouY. (1) lineae cycloid. causticae , péri *jann. 1688. édition françoise. causticae, &c.