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SIXIÈME LIVRE.

Contenant quelques développemens élémentaires dvcalcul des Fluxions et F lu entes.

(Quoique nous ayons renvoyé (page 372 ) aux livres élémentaires de ce calcul, itnous a paru qu’il ne seroit pas entièrement inutile d’entrer dans quelques détailssur les premières opérations qu’il présente.

Ayant démontré ( page susdite ) que la fluxion de xy est yx-f-xy, il estfacile de démontrer que celle de xyç est y ^x-f-^xy-f-yx^ ; car si l’on supposexy — u y on aura ty{=ii{, dont la fluxion sera u {-(- î u : or l’on a u — y x-j-{y.Ainsi, mettant à la place de u et u leurs valeurs dans l’expression ci-dessus,on trouvera la fluxion de xy 3; = y ç x -|-çxy -f-y x{ ; d’où il est facile de tirerla règle générale pour tous les cas semblables.

Cela montre encore que la fluxion d’un quarré xx est 2xx; que celle d’uncube x 1 est 3 x’ x ; que celle enfin d’une puissance de x, comme x", est m x™"'x.

Ainsi la fluente , ou la quantité dont provient une Auxion comme y x-|-x y ,sera yx (nous faisons abstraction de la quantité constante qui peut , suivant lescirconstances, être ajoutée à yx) ; car il est évident que si l’on avoit la quantitéyx-f-J, où a est une quantité invariable, sa Auxion seroit également xy-f-y x.Mais on verra ailleurs comment cette constante , si elle doit avoir lieu , peut êtredéterminée.

Ainsi encore la Auente de 2xx sera xx, et conséquemment celle de xx sera

— ; celle de x’x sera— , &c. ; d’où l’on conclurra que celle de x“x sera*. _ .

2 3 m-f-1

Et cela sera vrai, quelle que soit la valeur de m , entière ou fractionnaire,

positive ou négative. Ainsi xVTT, c’est-à-dire a‘x~ x , aura pour Auente

|(d'X'), c’est-à-dire j-x^/jx-, ce qui donne la quadrature delà parabole or-dinaire.

Tout ce que nous venons de dire est également applicable aux quantitéscomplexes, comme seroit ( aa-f xx)"; sa fluxion seroit 2 nx.v (an -|- x x

Et si nous supposons n — ~ , c’est-à-dire ( aa + xx)*='l/œa-l-xx , on aura

pour sa Auxion— * ; et vice versa la Auente de cette quantité sera ( aa-^-xx )“•

zy a a + * x

Tout cela, au surplus, quoique déduit ici par simple induction, peut se démontrerïigoureusement par de simples subtitutions.