DES MATHÉMATIQUES. Part. IV. Lrv. VII. 4 7 3infinité de puissances sont appliquées perpendiculairement auxpoints d’un filet, ou d’une surface infiniment flexible, la cour-bure à chaque point est comme la puissance qui y est appli-quée ; et par conséquent le rayon osculateur à ce point est enraison réciproque de cette puissance. Cette importante véritémet presque sur le champ en possession de l’équation diffé-rentielle de la courbe , et donne avec une facilité remarquablela solution de divers problèmes qui , traités suivant une autreméthode, seroient beaucoup plus embarrassans. Il faut voirdans l’ouvrage même de M. Bernoulli l’usage qu’il en fait pourla résolution des problèmes de la chaînette , du linge chargé deliqueur , de la voilière , &c.

Parmi les problèmes qui occupèrent les géomètres vers la findu siècle passé , il en est peu qui soient plus curieux et plusdignes de remarque , que celui de la plus courte descente. Cefut Jean Bernoulli qui proposa celui-ci (1). Deux points quine sont ni dans la même perpendiculaire , ni dans la mêmehorizontale , étant donnés, il s’agit de trouver la ligne le longde laquelle un corps roulant de l’un à l’autre , y einployeroitle moindre temps possible. Bernoulli lui donne le nom deBrachystochrone , nom dérivé du grec (2) , et qui signifie letemps le plus court. On pourroit être tenté d’abord de penserque cette ligne est la droite menée d’un point à l’autre ; maisnous nous hâtons de dissiper cette erreur, et la chose est facile ,à l’aide des réllexions suivantes.

En effet, le temps qu’un corps emploie à tomber d’un pointà l’autre, n’est pas en raison simple de la longueur du cheminqu’il parcourt. La détermination de ce temps exige nécessaire-ment qu’on ait égard à la vitesse avec laquelle ce chemin estparcouru. Quelque court qu’il soit , si la vitesse est très-petite ,le mobile y pourra employer beaucoup de temps 5 d’ailleurs,cet espace n’est pas parcouru d’un mouvement uniforme ,mais d’un mouvement continuellement accéléré ; et la quantitéde cette accélération dépend de la pente de la ligne le longde laquelle se meut le corps , et principalement de celle desparties de cette ligne où il commence à se mouvoir. Une courbequi procurera au corps un commencement de chute verticale ,qui ensuite deviendra de plus en plus inclinée , pourra donclui donner une vitesse plus grande qu’il ne faut pour com-penser la longueur du chemin qu’il parcourt ; ainsi il ne doitpoint paroître étonnant qu’un corps qui tombe le long d’unecourbe menée d’un point à l’autre , emploie moins de temps

(1) 4 ct. Erud. ann. 1 696.

(a) De Çpa.KVf7 or, superlatif de Gf-uzl/f, b revis , et yjovot, tempus.

Tonte IL O o o