W HISTOIRE

la densité sera différente à chaque couche, se courbera de ma-nière qu’il ira d’un point à l’autre dans le temps le plus court jsi donc cette densité est supposée diminuer dans le même rap-port qu’un corps accélère son mouvement , c’est-à-dire commela racine de la hauteur d’où part le corps , la courbe du rayonde lumière sera la même que celle de la plus courte descente.Bernoulli applique à ce problème optique son analyse , et trouveque dans la loi de densité que nous venons de supposer , latrajectoire du rayon de lumière seroit une cycloïde ; d’où ilconclut que cette courbe sera aussi celle du plus court trajetd’un point à l’autre. Cette seconde solution fut celle qu’il publia.Leibnitz , à qui il communiqua l’une et l’autre , l’engagea pardes raisons particulières à tenir la première cachée. Elle n’avu le jour qu’en 1718, dans le nouveau mémoire que Bernoullidonna à l’académie des sciences , sur le fameux problème desisopérimètres ; c’est la qu’on doit recourir, ou à ses OEuvres ,tom. II, p. 266.

Tant de voies différentes peuvent conduire à la solution d’unmême problème, qu’on ne s’étonnera point que celle de JacquesBernoulli soit encore différente. Ce savant géomètre se sert del’observation préliminaire dont nous avons fait usage ci-dessus,savoir que la propriété de la plus courte descente doit non-seulement convenir à un arc quelconque lini de la courbe ,mais encore à chacune de ses parties infiniment petites. Deuxélémens quelconques de la courbe posés de suite , doivent parconséquent être situés de manière que le corps qui les parcourten continuant d’accélérer son mouvement , les parcoure dansmoins de temps que s’ils eussent eu toute autre position. Bernoulliréduit ainsi le problème au suivant. Deux points, A et B , étantdonnés (Jig- i 3 i ) , il s’agit de trouver sur l’horizontale D E,qui en est également distante, un point C, tel que AC, étantparcouru avec une certaine vitesse m, et CB avec une autre n ,le temps employé à aller de A en B , soit le moindre qu’il estpossible. Ce problème, analogue à celui de la réfraction, estfacile. On trouve par le moyen du calcul différentiel, et mêmesans ce secours, que le sinus des angles ACD, BCE doiventêtre en raison réciproque des vitesses avec lesquelles CA, CBsont parcourues. Mais dans l’hypothèse d’une courbe parcourued’un mouvement accéléré uniformément , ces vitesses suiventle rapport des racines des hauteurs , comme HA, HD, desorte qu’il faut que les sinus des angles formés par deux élé-mens successifs a c , cb de la courbe cherchée, soient réci-proquement comme les racines des hauteurs ha, hc , ou desabscisses. Or cela se trouve , avec un peu d’attention , convenirà la cycloïde ; d’où il suit que cette courbe est celle qui satisfait