DU SEPTIÈME LIVRE. 4 9 3

Is centre de gravité des poids liés à la verge. Ainsi, égalant ces deux expressions,

- i A a a-4- B b b -+• Ce c , &c. „ c

On trouvera finalement — a a ~ + B ~ C ~ c — &c ' » g ou il suit qu il faut ,

dans le cas en question , multiplier chaque poids par le quarré de sa distance aupoint de suspension, et en faire une somme , la diviser ensuite par la somme desproduits de chaque poids, par sa distance ; le quotient donnera la distance dupoint O d’oscillation au point de suspension S , ou la longueur du pendule simpleisochrone , au pendule composé des poids A , B, C , &c. disposés à différentesdistances de ce point de suspension.

NOTE B.

Quelques exemples de calcid des centres d’oscillation.

Depuis l’invention des nouveaux calculs, il n’est plus question des solides etdes onglets cylindriques , dont la considération étoit nécessaire à Huygenspour déterminer les centres d’oscillation des différentes figures. Le calcul inté-gral en affranchit, et fournit des méthodes commodes qui ne surchargent pointl’imagination , comme faisoit la méthode d’Huygens.

Ces formules sont faciles à déduire de la règle générale démontrée de tant demanièies dans l’article III. Que l’abscisse d’une figure , prise du point de suspen-sion , soit x et y , son ordonnée, ydx sera son élément, et par conséquentle ponduscule à multiplier par le quarré de l.t distance à l’axe de suspension ;ainsi xxydx sera ce produit , et la somme de tous les produits semblables ,savoir S. xxydx , divisée par la somme des momens , ou S. xydx sera ladistance du centre d’oscillation , savoir quand la figure oscille in planum.

Car si elle oscilloit in latus , cette formule seroit, d’après ce qu’on a dit plushaut, S (x x-\-jy y) y d x. Le tout divisé comme à l’ordinaire par la sommedes momens , S xydx.

Qu’on ait enfin un solide de circonvolution, et que x étant l’abscisse, y soitl’ordonnée de la figure génératrice , on trouvera pour la formule de son centred’oscillation S. (**-f y) y 2 d x , divisé encore par la somme des momens quiest ici S. xy 2 dx.

Lors donc qu’on aura l’équation de la figure proposée , c’est-à-dire , la valeurde y en x, il n’y aura qu’à la substituer à la place de y, et l'intégrale du nu-mérateur qui se trouvera toute en x et dx , étant trouvée, et étant divisée parcelle du dénominateur, donnera la distance du centre d’oscillation au point desuspension. En voici quelques exemples.

Soit une ligne droite a suspendue par une de ses extrémités , le pondusculesera seulement dx\ ainsi S. x 2 d x sera -J- x 5 . Mais S x d x, somme des momens,est y*’. La première intégrale divisée par la seconde, est j*, d’où il suit quece sera pour la ligne entière a, {a ; ainsi le centre d’oscillation d’une lignedroite suspendue par son extrémité, est au deux tiers de sa longueur; et cesera la même chose d’un rectangle balançant à l’entour d’un de ses côtés a ,l’autre étant b', car alors le ponduscule ydx sera ad x, a étant ce côté.

Que le point de suspension soit à une distance c hors de la ligne , alors

l’expression S. x 2 y d x deviendra S. c -f- x y d x , c’est - à - dire , S. c 1 y d x+ 2 S. ex y d x-l-S. x 2 y d x, ce qui se réduira S. c 2 d x 2 S. c x d x-$-S x 2 d x .~ d -v -(- c x 2 -|- 7 a.-’. De même S..x y d x deviendra S. (c d xx d x )\z=. ex+ T*’' La première étant divisée par la seconde, et faisant x — a, on aura