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NOTES

Enfin, pour faire décrire un cercle par un corps tendant à un point de sacirconférence, il faudroit une force en raison inverse de la cinquième puissancede la distance.

Nous omettons plusieurs autres questions semblables que présentent d’ordi-naiie les livres où cette théorie est traitée ex professo ; par exemple, quelle estla loi des forces nécessaires pour retenir un corps sur une section conique, ensupposant leur direction perpendiculaire , ou parallèle à l’axe , &.c. &c. Nousrenvoyons à ces livres, et spécialement aux Principes de Neuton.

• Nous venons de faire connoître une formule propre à déterminer la loi dela force centrale nécessaire pour faire décrire à un corps une courbe donnée.Mais ici les ressources de l’analyse sont comme ailleurs immenses. 11 est encoreplusieurs autres formules que les géomètres ont trouvées pour le même objet, etqui donnent les mêmes résultats. Nous croyons devoir au moins en indiquerquelques-unes, en renvoyant pour leur démonstration aux livres indiqués.

Ainsi en nommant p la perpendiculaire tirée du centre des forces S sur latangente, et en conservant les mêmes dénominations que ci-dessus, on fait voir

que la force centrale peut être exprimée par quantités qui sont données

par l’équation de la courbe. Elle peut être aussi exprimée par

dds

p ‘ ds dr *

car

pour trouver cette expression , il suffit de substituer dans celle employée ci-dessus, au lieu de rd[ proportionnelle au temps, pds qui lui est égtle.

On peut aussi faire entrer dans l’expression de la force centrale le rayou oscu-lateur de ia courbe au point P. Que es rayon osculateur soit, par exemple ,

nommé q, on aura pour une des expressions de la force centrale — .

Varignon s’est singulièrement plu à varier ces expressions ; ce que l’on peutvoir dans ses différens mémoires sur les forces centrales , donnés à l’académiedes Sciences, depuis 1700 jusqu’en 1704. 11 a aussi généralisé à sa manière cetterecherche, en considérant différentes hypothèses, et même différentes supposi-tions de la loi suivant laquelle croit le temps. Il examine ainsi quelle seroit laloi des forces nécessaires pour faire décrire une ellipse dans l’hypothèse de Ward ,suivant laquelle la planète se meut à l’entour du soleil, placée dans un d^s foyers,de telle sorte, que, vue de l’autre foyer , elle paroît décrire des angles égauxen temps égaux ; quelle est celle qui feroit décrire la courbe appellée l’eliipse deCassini ; mais il nous semble que c’étoit-là une peine fort superflue : il n’y aqu’une supposition possible sur la manière dont croit le temps, et c’est celle quile fait proportionnel à l’aire décrite. Ainsi vouloir examiner ce que seroit la forcecentrale dans d’autres suppositions, c’est, ce me semble, comme si l’on vouloitexaminer les propriétés d’un triangle rectiligne, tel que ses trois angles ne fussentpas égaux à deux droits. ’

Le même géomètre a aussi recherché (1) quelle seroit la loi des forces cen-trales nécessaires pour faire décrire à un corps une courbe donnée , ces forcesrendant à plusieurs centres donnés de position , quelques-uns même n’étant pasdans le même plan. Il trouve, par exemple, que pour faire décrire une ellipseen vertu de deux forces tendantes à ses deux foyers, le corps se mouvant uni-formément sur sa circonférence, elles devroient être telles, que dans chaque pointil en résultât une force réciproque au produit des deux distances, &c. Mais 011peut sans doute faire ici la même observation que ci-dessus-, peut-on admettreune autre loi que celle qui fait croître les espaces parcourus par le rayon recteur,en raison des temps? Une courbe, autre que le cercle, peut-elle être décrited’un mouvement uniforme , en vertu des forces dirigées à son centre ? C’est untravail bien superflu que d’examiner des hypothèses qui sont contraires à lanature.

(1) Mem . de l'Acad. ann. 1703.

NOTE