DU SEPTIÈME LIVRE,NOTE D.

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Démonstration analytique des théorèmes des pages 44% et 45c:

Pour démontrer ces vérités, qu’on conçoive l’espace AC ( fig . 119) parcourupar le corps tombant en vertu d’une force quelconque, agissant de A en C,divisé en parties infiniment petites, dont T> d soit une. Que DE exprime l’inten-sité de la force en D et D H la vitesse acquise en D. Que la force soit nommée F,l’espace ADzra,la vitesse s u , le temps de la chute par Ddz=dt.

On sait que la vitesse produ te par une force uniforme, est en raison composéede l’intensité de cette force et du temps pendant lequel elle y est appliquée.Ainsi la force F, quelle que soit la loi suivant laquelle elle varie , pouvant êtreréputée uniforme pendant le temps infiniment petit dt employé à parcourir Ddou d s , U vitesse produite pendant cet instant, c’est-à-dire, l’incrément de lavitesse déjà acquise u , savoir d u , sera comme F d t. Mais le temps employé àparcourir un espace quelconque d’un mouvement uniforme, est en raison directede l’espace, et inverse de la vitesse. Ainsi dt employé à parcourir D dzzds

1 . ds , _ . F d s ,

avec la vitesse u , est comme — , et par conséquent r dt est comme —— c= a a ,

puisque du — Fdt. Donc T d s— u d u et en intégrant — — S. F ds ou u — 2 S. F ds.

Ot F d s exprime l’élément D « de l’aire A il ED, et conséquemment S. F ds es*cette aire. Ainsi le quarré de la vitesse acquise u est comme cette aire , et lavitesse elle-même exprimée par DH est comme la racine quarrée de cette aire,ou le côté du quarré qui lui est égal. La nature de la courbe AHI est donc,que l’ordonnée DH ou F 1 est toujours comme la racine de l’aire A B ED ouABGF correspondante dans la courbe BEG qui représente l’intensité des forces.

A l’égard du temps, si l’on fait DK réciproquement proportionnelle à la vi-tesse D H , il est évident que DK ou le petit rectangle DA exprimera le temps

employé par le mobile à parcouiir D d. L’aire entière de la courbe ADKM ex-primera donc le temps que ce mobile emploiera à parcourir l’espace AD.

Le second théorème de Neuton , énoncé page 45 °, s* qtr’il s’agit de démon-trer, est que si deux corps partent d’un point S (fig. 122) avec une même vi-tesse, l’un tombant par ia ligne SP, et accélérant son mouvement par l'effetd’une force centrale placée en C , l’autre projetté dans la direction AR, et dé-crivant par l’action de la même force, la trajectoire SFI, en prenant les dis-tances CP, CF égales, les vitesses en P suivant P p , et F f seront égales. Pourpeu qu’on soit au fait des découvertes antérieures, il sera aisé de voir que cethéorème est une généralisation remarquable de celui de Galilée, savoir qu’unCor P s . rou ^ ant lo "g d’un P^ an ou d’une courbe quelconque, a toujours acquisle même degré de vitesse que celle qu’il auroit acquise en vertu d’une chuteperpendiculaire de la même hauteur. Voici la démonstration du théorème deFJeuton.

En reprenant la figure 111 soit un point fi infiniment près de F, et les arcsconcentriques, le déïnier coupant CF en g. Ainsi F g et P p seront égales.Soit de plus du point g tiré gi perpendiculaire à F fi.

Maintenant puisque les points F et P sont également distans du centre C d’ac-tion , les foices avec lesquelles les deux corps tendront vers ce centre, l’un sui-vant P p , l’autre suivant F g seront égales. Mais la force absolue suivant F g esta celle qui en résulte selon F fi, comme F g à Fi, d’où il suit que l’incrémentde vitesse, produit dans le sens de F g sera à celui produit dans le sens de F ficomme F g à Fi, et que tandis que le corps, en vertu de ce nouveau degréTome II. R

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