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de vitesse acquis, auroit parcouru F g sur Fc, il parcourra Fr sur F f. Maisd’après la doctrine des mouvemens uniformément accélérés , le qruarré de la vi-tesse acquise en parcourant l’espace F / est au quarré de celle acquise, et par-courant par l’action de la même force, l’espace F i comme l’espiace F/à Fi,c’est-à-dire, comme F g 3 à F i 3 (parce que F/, F g, F i sont en proportion con-tinues , et conséquemment F g 1 à F f 3 comme F/ à Fr). Ainsi l’incrément devitesse en / sera à celui en r, comme Fg à Fi. Or on a vu phs haut que l’in-crément de vitesse produit selon F g est à celui produit selon Fr , et capable delui faire parcourir dans le même temps Fi, comme Fg à Fr. Le:s incrémens devitesse produits en f et g seront donc égaux. Et comme le mérite raisonnementa lieu à l’égard de tous les autres points de la courbe , et de la chute perpendi-culaire, F et P, et que la vitesse est la même au point du départ, la vitesse serapartout la même dans ces points respectifs.

On peut beaucoup plus simplement, et en partant de ce que Galilée a dé-montré sur les plans inclinés, rendre sensible la même vérité. Supposons eneffet F C verticale et exprimer la direction de la pesanteur. Les lignes F C , f Cpeuvent être censées parallèles à l’égard de F f qui ne sera plus qu’un planincliné à l’égard de l’horizontale g/l Or Galilée a démontré que dans ce casla vitesse qu’un corps roulant de F en / a acquise au point / est égale à cellequ’il auroit acquise en tombant de F en g. Donc l’incrément de vitesse acquispar le corps au point f sera le même que celui acquis par le corps, en tombanxperpendiculairement de F en g, ou de P en p.

NOTE E .

Sur ta manière de trouver l’équation générale des trajectoires ,

page /po.

Voici, pour l’instruction du lecteur qui désire acquérir une connoissance plusapprofondie de ces matières, l’analyse entière et développée de ce problème.

Que C S ( jfg. 122 ) soit ~a. SH — x , H h s= d x. CF ~y. f g = dy , on aura

d’abord et conséquemment F/=2 j/ (*j 3 dy*-\-y y d .x 3 ) :a 3 . Soit main-

tenant la vitesse du corps en F dans la direction ^ f ~ u , et que F désigne l’actionde la force centrale à ce même point F, la courbe B ET , exprimant par ses or-données EP l’intensité de la force centrale en P et F , également éloignés du centrede tendance C , on aura l’élément de l’aire SB EP égale à — b d y. ; (on a — F dy ,parce que y diminuant, dy doit être affecté du signe négatif) or cet élément est,comme on l’a vu dans la note précédente, ~udu ; on aura par conséquent Euy —— ucu' r

et en intégrant S. V dy —B— ^ ( on verra plus bas pourquoi l’on ajoute ici cette

constante B , ce qui est d’aiileurs dans les règles du calcul, sauf une déterminationultérieure, d’après les circonstances du problème) ; ainsi u r= j/( 2 B — 2. S. F dy).

D’un autre côté, le petit triangle gCF,que nous avons dit exprimer le temps,qui est toujours proportionnel à l’aire décrite par le rayon vecteur, aura pour ex-pression savoir le produit du petit côté F g “ par — ou -, ou parce

que le temps n’a aucune dimension , et pour observer la loi de 1 homogénéitées ^* ; or l’espace parcouru est en raison composée du temps et de la vitesse.Ainsi égalant l’expression ci-dessus trouvée pour l’espace, au produit de cehe dela vitesse et de celle du temps , savoir y/ ( 2 B — 2 S F dy) et ——j- > on aufa