NOTE.

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qui sera la somme de toutes les sécantes; et de l’autre le rectangle ACE F, quisera celle de tous les rayons ; ainsi la somme de toutes les sécantes élevées surl’arc B D , sera à celle de tous les rayons élevés sur le même arc, comme l’aireCaMG au rectangle CANG. Il s’agit donc de trouver l’aire CaMG.

Pour cela, que la tangent» BL soit et le rayon — t. On sait que la

différentielle de l’arc , ou Dd, ou G g, est exprimée par ^ + xx . En la multi-pliant par la sécante qui est p/ ( t -\-xx) , on a l’élément G m de l’aire

àx

CGMsst;—: --• Or l’intégrale de cette différentielle est le logarithme

y (i+xx) ° a

de x y/ ( 1 + xx ). Mais x étant la tangente d’un arc , celle de son demi-

complément est ^ ^ ^ ~ x •, dont le logarithme est le même que celui du

précédent, mais seulement pris négativement. Ainsi le logarithme de la tangentedu demi-complément d’un arc BD ( celui du sinus total étant o ) ; ou ce qui estla même chose, le logarithme de cette tangente, pris dans les tables or-dinaires et diminué de celui du sinus total , le reste étant considéré commepositif, donnera l’aire delà figure des sécantes CGM a , élevées sur les pointscorrespondans de l’arc B D.

Si donc on prend successivement BD égal à i°, 2°, 3 0 , &c. on aura suc-cessivement dans la carte , les distances à l’équateur du premier , du second ,du troisième parallèle, &c. en prenant les logarithmes des tangentes de 44 7,44 , 437, &c. et les diminuant de celui du sinus total.

Si nous avions nommé x le sinus de la latitude B D , on trouveroit pour la

différentielle de l’aire ci-dessus-

dx

( car la sécante se trouve =

j/i-:

et

la différentielle de l’arc est O r l’intégrale de - est le logarithme

de : c’est le rapport donné par le docteur Barrow, et énoncé ci-dessus. On

trouvera donc les distances de chaque parallèle de la carte à l’équateur, en prenantle logarithme de 1 -f-Æ moins celui de 1 — x.

Wallis ( Trans. phil. ann. 1683 , ou Op. t. II. ) réduisoit ce rapport àune série infinie ; mais le procédé ci-dessus est préférable. Je remarquerai enfinque M. Jean Percks a montré ( Trans. phil. ann. 1715 ) comment la cons-truction des cartes réduites se rapporte à celle de la chaînette.

Comme il est aujourd'hui reconnu que la figure de la terre n’est pasexactement sphérique , mais celle d’un sphéroïde appiati par les pôles etrenflé sous l’équateur, il se présente ici une question, savoir s’il ne faut pas unecorrection à la théorie ci-dessus ; car le méridien n’est plus un cercle , mais uneellipse dont le grand axe est dans le plan de l’équateur , et le petit axe celuide la terre ; mais c’est une question que nous examinerons dans la suite de cetouvrage. Nous nous bornerons à indiquer ici celui de M. Murdoch, citéplus haut, et dont le principal objet est l’application de la véritable théorie dela figure de la terre à la construction des cartes réduites.

Fin de la Note.