DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 21ou augmenter de l’unité, au contraire de ce qu’on aura faità l’égard de l’équation proposée ; les seuls nombres qui serontles mêmes que les facteurs du dernier terme de celle-ci, pourrontêtre ces racines. On en exclura d’abord par-là un grand nombre,et une seconde opération donnera souvent l’exclusion à laplupart de ceux que la première aura épargnés, quelquefois àtous, si l’équation proposée n’a aucune racine rationnelle. C’estce qui arrive dans l’équation proposée ci-dessus a : 5 —2 x* &c.car en diminuant de l’unité les racines de cette équation (cequi se fera en substituant y -+•1 et ses puissances, à x et ses

puissances) on aura celle-ci y s + 'à y* -8 j' 3 — ^y 2 -\- 90JV— 38 .

Or, les seuls facteurs du dernier terme sont 1, 2, 19, 88, quiaugmentés de l’unité ( parce qu’on avoit diminué la valeur dex de l’unité) sont 2, 3 , 20, 89. Or, dans ce nombre il ne setrouve que 2, 3 , 20, qui soient communs avec les facteurs dei 20. Tous les autres sont conséquemment exclus, et si l’on essayeceux-ci, on verra presque au ptemier coup d’oeil, qu’aucun neréussit à rendre Te dernier terme de l’équation x'' — 2 x* &c. = o.

Mais on s’évitera même cette tentative ; car si l’on augmenteles racines de l’équation x s — 2 î 4 &c. de l’unité (en substi-tuant à x etses puissances ,.y —1 et ses puissances) on aurait

-7 y* &c. —146=0, où les facteurs du dernier te/me sont

1, 2, 73, 146, qui diminués de l’unité sont, o, 1, 72, 14J-où

il n’y a que 1 de commun avec les diviseurs de l’équation pro-posée. Tout se réduira donc à essayer 1 ou—1, que du premierabord on verra ne pouvoir convenir.

Il n’est au surplus rien moins que nécessaire de former leséquations entières y s &c. Car il est facile de voir que si à x yon substitue y -f 1, tous les derniers termes de^ -{- 1 et sespuissances, seront-f- 1. Ainsi le dernier terme de la nouvelleéquation, ne sera autre chose que la somme des coefficiens destermes de l’équation proposée, pris avec leurs signes, en y.ajoutant sous son signe, le dernier terme de l’équation proposée-Mais si l’on augmente les racines de cette équation , en substi-tuant^—1 à x , il faudra seulement changer les signes des coef-iiciens des puissances impaires, parce que les puissances impairesde y — 1, ont—1 à leur dernier terme-

Lorsque par cette voie ou par quelqu’autre , car il y en aplusieurs, on s’est assuré qu’aucune racine de l’équation pro-posée n’est rationnelle ni un nombre entier, il reste à tentersi elle n’est pas irrationnelle quoique réelle. Il y a encore desmoyens pour cela. L’un des plus simples est de supposer l’in-connue successivement 1, 2, 3 , &c. ou—1,— 2, — 3 , &c. il enrésultera une suite de valeurs successives, entre deux desquellesse trouvera le terme connu, à moins que layaleur ne soit ima?