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H I S T O I R E

ginaire. Supposons donc que le résultat de cette substitution,,en faisant x égal à 36 , soit moindre que le terme connu; etcqu’en faisant x=. * 7 , ce résultat soit plus grand, on pourra,aire avec assurance , que la valeur cherchée ou une des valeurs;cherchée est une irrationnelle entre 36 et puisqu’elle ne peut:être une fraction. M. de Lagny fait sur cela une observation (i)tqui facilite beaucoup cette tentative, en réduisant l’opérationà de simples additions successives. Car il observe et il démontre?que dans une équation complète quelconque , si au-lieu del’inconnue on substitue successivement des valeurs qui soienten progression arithmétique, la seconde différence des valeurssuccessives en résultantes, pour l’équation quadratique ; latroisième pour l’équation cubique ; la quatrième pour celle duquatrième degré, &c. sera toujours la même, savoir, deux foisla différence de la progression, pour l’équation du second degré,six fois cette différence pour l’équation cubique, vingt-quatrefois pour la biquadratique, &c. Ainsi si l’on substitue les termesde la progression, i, 2,3, &c. ou—î,—2, — 3 , &c. la se-conde différence sera 2, pour l’équation quarrée ; la troisième

f tour l’équation cubique sera 6 , la quatrième sera 24 poura biquadratique, &c. Ainsi la formation de ces résultats de lasubstitution de 1, 2, 3 &c. ou de —1, —2, — 3 , &c. après deuxrésultats successifs n’exi^e plus que de simples additions. Il fautpourtant convenir que si la valeur étoit un très grand nombre,ce procédé seroit excessiveinement laborieux. Remarquons enfinici que, si ces résultats, après avoir augmenté, par exemple, ens’approchant du terme connu, prenoient tout-à-coup une marchecontraire, ce seroit un signe qu’il n’y a dans l’équation aucuneracine réelle, et qu’elles sont toutes imaginaires, ce que nousferons voir dans la suite.

Nous voilà enfin parvenus, quoique assez laborieusement, àreconnoître qu’une équation a au moins une ou quelques racinesréelles , quoiqu’irrationnelles ; il faut en trouver l’expression oudu moins la valeur approchée. C’est la première de ces alterna-tives qui a fait de tout temps la difficulté. Car pour cet effet,il faut résoudre l’équatiom, comme on résoud l’équation du se-cond degré, ou celle du troisième, ou celle du quatrième, etc’est-là la pierre d’achoppement qu’on n’a point encore pu lever ,quelques tentatives ingénieuses qu’on ait faites.

Deux voies, cependant, se présentent d’abord; l’une detenter si l’équation proposée n’est pas le produit de plusieurséquations complexes, ou dans le cas où elle seroit de dimensionpaire, s’il n’y auroit pas quelque quantité complexe qui, ajoutée

(1) Mern, de l’acad, 171a.