DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 29de Berlin, pour l’année 1749- H y fait voir que cela vient de lasupposition employée dans cette méthode de résolution, sup-position raisonnable et possible dans tous les cas de l’équationx } -\-p xdz q = o , mais qui implique quelquefois contradictionou impossibilité dans l’équation a ; 3 ~p x±q = o\ savoir, lors-q ue T? 2 <r 7 P'-

En effet, suivant la méthode en question , on suppose x=y-\-z , et substituant ensuite dans l’équation proposée , au lieu dem 3 et m, les puissances semblables dejy-j-z , on a dans le premiercas l’équation transformée y 3 -\-' 5 y'z-\-'iyz % -\-z 3 -\-p(y-\-z) -\-q— r ' >on suppose ensuite 3 y*z-\- 5 y z*-\-p(y + z) — o &.y 3 -\- z 3 zkq=o.De la première on tire , en divisant par y+z,y=-H d’où ré-sulte x=z+y = z — -E. Or , dit M. K., quelle que soit æ , cetteexpression est possible , ( car en résolvant cette équation , oucherchant la valeur de z en æ , on trouve z=~zt: "j/( i^’+TP)expression possible dans tous les cas.

Mais il n’en est pas de même dans l’autre cas $ savoir dex—z—-^ , car on trouve par le même procédé z = -±

V( 4 1 — y Z 7 ) > expression impossible, si x n’est pas plus grandque y yp. La valeur de z sera donc impossible dans ce cas ; etalors la supposition de x=y+z le sera elle-même. Elle doit doncconduire à une expression absurde , ou du moins inexplicablecomme est alors la formule de Cardan.

Ce qu’il reste à prouver ici, c’est que , dans le cas où ~q ï estmoindre que p\ on a aussi x 2 moindre que ]/fp. En voici ladémonstration : l’équation x 3 —p xdzq=o se réduit, comme l’onsait, à celle ci m 3 ~, à a a x ztz 2 a*c= o , ( en faisant 3 a a=p

ou a=l/ïp , & 2 aac — q, d’où résulte C—~^ f dont les racines( c étant moindre que a ) , sont toutes trois réelles , et sont ex-primées par trois cordes, tirées dans le cercle dont le diamètreest a ; la première de ces cordes est celle du tiers de l’arc , dontc est la corde ; la seconde , celle de son supplément au cercle jet la troisième , celle de l’arc composé de l’arc donné et dela circonférence. Or , la plus grande de ces cordes , quelle qu’ellesoit , est moindre que le diamètre a , et conséquemment que

Yjp. Elle l’est donc, à plus forte raison, que }/{p. M. Kœnigdémontre cela d’une manière un peu différente , mais qu’ileût été trop long de développer.

Je ne sais cependant si cette solution de M. Koenig lèveentièrement la difficulté : car on peut dire qu’une suppositionimpossible doit nécessairement conduire à une expression abso-