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que M. De Gua a amplifiées (1^, et desquelles il a déduit desrègles pour le même objet, plus étendues que celles de M. Stirling.Comme ces considérations jettent un grand jour sur cette ma-tière , et en général sur les propriétés des équations, nous croyonsdevoir en donner une idée.

Supposons une équation telle que celle-ci y = x 3 + 8 x 4-j- n x 3 —142 or 1 + 3 a .-r+ 22.4 (y est l’ordonnée et x l’abcisse).Orrsait, par la théorie déjà connue des courbes, qu’en donnant àx une valeur successivement plus grande, soit positive soit né-gative, la valeur de y variera, et que toutes ces valeurs d eyétant élevées perpendiculairement ou à angles constans, sur leursabcisses correspondantes, il en naîtra une courbe qui aura lessinuositées déterminées par l’équation. Telle est ( fig. 3 . ) lacourbe TIKQLV donnée par l’équation ci-dessus, qui coupeson axe en HGF AB, et qui en est en quelque sorte le tableau.Or, on sait encore qu’en faisant y = 0, les différentes valeurs de xexpriment les distances à l’origine des abcisses, des différenspoints où elle coupe son axe. Ainsi si l’équation a comme celleci dessus, cinq racines réelles, elle coupera cinq fois son axe,et si deux de ces racines sont positives et trois négatives, ily aura du côté positif, que nous prendront toujours à droite,deux points d’intersection et trois du côté négatif. Ici le point O,est l’origine des abcisses j et les deux racines positives sont OA.O B, et les trois négatives OF , OG, OH. Le côté positif desordonnées sera au-dessus de l’axe RS et le côté négatif au-dessous. On voit encore que l’ordonnée PM, répondant à O P,devient alternativement positive et négative, en sorte qu’entredeux ordonnées, l’une positive, l’autre négative, il y a toujourset nécessairement un point d’intersection. On doit enfin observerque lorsque l’équation est d’un degré impair, la branche du côténégatif, vient nécessairement d’au-dessous de l’axe et finit ducôté positif, par passer au dessus et s’étendre à l’infini ; ce qu’ilest aisé de démontrer en faisant x infini, positif ou négatif. Nousverrons au contraire, que lorsque le degré de l’équation est pair,les deux branches sont toujours du même côté de l’axe, et endessus ou du côté des ordonnées positives, comme on le voit

dans la Jig. 4 qui représente l’équation du quatrième degré x 4 -

2a? 3 — 2 Üx*+ 7 5 = y. Cette équation , lorsque y=o

donne xz=: ' 5 ,x = 5 ,x = — 1, x= — 5 , en sorte que O étantl’origine des abcisses, la courbe coupe l’axe en A, B, F, G, faisantOA = 3 , OB = 5 ,OF = i,OG = 5 .

De-là découle toute la théorie des racines égales, des racinesimaginaires, ainsi que diverses propriétés des équations.

(2) Mé/n. de l’Acad, de 1741.

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