DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liy. I. 33

En effet, supposons que l’axe RS de la courbe , soit trans-porté en R'S' en sorte qu’il touche la courbe dans sa partieG K F ; cette transposition se fera sans faire autre chose qued’auguienter le ternie connu ou la quantité constante du dernierterme représenté par OQ, de la quantité du maximum de lasinuosité G K F. Car par là, toutes les ordonnées positives serontaugmentées, et les négatives diminuées d’autant. Alors l’originede la courbe étant transportée en O', les racines OF, O G, de-viendront chacune = ü'K; et si la sinuosité ALB, s’étend plusbas que GKF, l’axe coupera encore la courbe de ce côté en A'R' et l’équation aura encore cinq racines réelles, deux positivesOA', OB' et trois négatives O K, O K égales, et O II'. Cariabranche HT, s’étendant à l’infini, au-dessous de l’axe, il y auranécessairement encore un point d’intersection de ce côté.

Mais transportons maintenant encore l’axe plus bas, en sortequ’il touche la sinuosité ALB en L, il ne coupera plus la partieGKF, il n’y aura plus dans l’équation que deux racines positiveségales CUL , CUL, une négative réelle CUIU et deux imaginaires.

Que l’axe enfin soit transposé encore plus bas, de manière àne plus toucher la courbe en L, il n’y aura plus qu’une racineréelle et négative O"' H'", car par la raison ci-dessus, touteligne parallèle à l’axe RS et au-dessous, coupera la brancheHT et toute parallèle au-dessus, la coupera au moins unefois dans la branche opposée. Ce qui sert de démonstration àcette vérité delà théorie des équations, savoir, que dans touteéquation de degré impair, il y aura toujours au moins une ra-cine positive ou négative. Mais dans une équation de degré pair,il peut n’y en avoir aucune , ou bien deux ou quatre &c. Cartransposant l’axe de la courbe de la fig. 4 autant qu’il le fautpour ne couper aucune des sinuosités GLF, AD B, toutes lesracines deviendront imaginaires, mais qu’il soit transposé au-dessus, de manière à ne point couper la partie F Q A , il couperaencore nécessairement les branches G T, BV qui s’étendent in-finiment en hauteur ainsi que latéralement. Ainsi toute équa-tion de degré pair, si elle a une racine réelle, en aura néces-sairement une seconde. Enfin elle en aura ou point, ou deux,ou quatre, &c.

Je voudrois pouvoir donner ici au moins les formes des courbesreprésentatives des équations du troisième degré. On y verroit unesingulière et curieuse variété, suivant la nature et la multiplicitédes racines de l’équation. Mais cela me meneroit trop loin.

Il est toujours facile de trouver par le calcul la forme de lacourbe parabolique représentative d’une équation numériquequelconque. Car faisant d’abord x — o, c’est-à dire, à l’origine,l'ordonnée est égale au terme connu, il n’y a qu’à faire ensuiteTome III, E