DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. T. « 4$

tion simple de racine connue, comme x ■— i = o,ou telle autrequ’on voudroit. Ensuite décomposant cette équation du huitième,en deux du quatrième, une de celles-ci contiendroit l’équationsimple connue, qui conséquemment la diviseroit et l’on auroitcelle du septième résolue en deux, l’une du quatrième, l'autre<lu troisième.

C’est aussi par des équations à coefficiens indéterminés queprocède M. Euler; et malheureusement ses résultats ne sontpas plus satisfaisans que ceux trouvés par le P. Leseur. En effet,cette méthode appliquée à une équation du huitième degré, leconduit à une équation du soixante-dixième degré; mais par uneconsidération particulière que nous ne pouvons exposer ici, ilfait voir que son dernier terme est négatif. Il y a donc danscette équation, au moins deux racines réelles, l’une positive,l’autre négative , qui donnent les coefiiciens du deuxième termedes deux équations, facteurs de la proposée, d’où se déduisentensuite tous les autres. Ainsi toute équation du huitième degréest susceptible d’être décomposée en deux du quatrième, et demême celle du seizième en deux du huitième, au moyen d’uneautre du douze cent quatre-vingt-septième degré. Celles du trente-deuxième, du soixante-quatrième degré, &c. conduisent à deséquations de degrés énormément élevés, mais dont les moitiéssont des nombres impairs ; d’où il conclud par une raison sem-blable à celle emplovée pour le soixante-dixième degré, queces équations auront nécessairement leurs derniers termes néga-tifs. Elles auront conséquemment au moins deux racines réelles,l’une positive, l’autre négative qui seront les valeurs cherchéesdes deux coefiiciens des seconds termes des deux équationscomposantes.

Mais ces conclusions ne sont point applicables par cette voieà d’autres équations que celles dont le degré est une des puis-sances de 2 . Car, par exemple, l’équation du sixième degré dé-composée de cette manière, conduit à une équation du vingtièmedegré , dont la moitié est elle-même un nombre pair ; d’où ilne suit plus que le dernier terme de cette équation est négatif ;il est positif au contrai re, et il peut conséquemment n’avoir aucuneracine réelle.

Cependant M. Euler montre d’une autre manière que touteéquation paire, est susceptible de cette espèce de dédoublement.Car prenons une équation du sixième et multiplions - là par— i = o, qui est le produit des deux équations, x -f- i = o ,& — i= o , on aura une équation du huitième qui sera décotnposa-ble en deux du quatrième ; lesquelles seront divisibles , du moinsl’une des deux , par x 1 - i, ou par x -f- î, ou par x—> î, d’oùrésultera, au moins, une décomposition en deux équations ,

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